Turunan Fungsi Trigonometri

Panduan Lengkap Turunan Fungsi Trigonometri

1. Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri adalah proses mencari tingkat perubahan fungsi trigonometri terhadap variabel sudutnya (biasanya dinotasikan dengan x). Berikut adalah rumus dasar baku yang wajib dipahami:

Fungsi Asal f(x) Turunan Pertama f'(x)
sin(x) cos(x)
cos(x) -sin(x)
tan(x) sec2(x)
cot(x) -csc2(x)
sec(x) sec(x) · tan(x)
csc(x) -csc(x) · cot(x)

Contoh Soal 1.1 (Turunan Sinus & Kosinus):

Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 4 sin(x) - 3 cos(x)

  1. Gunakan sifat penjumlahan dan pengurangan turunan pada setiap suku.
  2. Turunan dari 4 sin(x) adalah 4 cos(x) (karena turunan sin adalah cos).
  3. Turunan dari -3 cos(x) adalah -3 · (-sin(x)) = +3 sin(x) (karena turunan cos adalah -sin).
  4. Hasil akhir: f'(x) = 4 cos(x) + 3 sin(x)

Contoh Soal 1.2 (Turunan Tangen & Konstanta):

Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 5 tan(x) + 10

  1. Turunan dari suku 5 tan(x) adalah 5 sec2(x) (karena turunan tan adalah sec2).
  2. Turunan dari angka konstanta +10 adalah 0.
  3. Hasil akhir: f'(x) = 5 sec2(x)

2. Aturan Perkalian & Pembagian (Product & Quotient Rule)

Jika suatu fungsi trigonometri dikalikan atau dibagi dengan fungsi aljabar atau fungsi trigonometri lainnya, kita menggunakan sifat operasi hitung turunan:

  • Aturan Perkalian: [ u(x) · v(x) ]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • Aturan Pembagian: [ u(x) / v(x) ]' = [ u'(x)v(x) - u(x)v'(x) ] / [ v(x) ]2

Contoh Soal 2.1 (Aturan Perkalian Fungsi):

Tentukan turunan dari fungsi f(x) = x2 · sin(x)

  1. Misalkan u = x2 → u' = 2x
  2. Misalkan v = sin(x) → v' = cos(x)
  3. Masukkan ke rumus perkalian u'v + uv': 2x · sin(x) + x2 · cos(x)
  4. Hasil akhir: f'(x) = 2x sin(x) + x2 cos(x)

Contoh Soal 2.2 (Aturan Pembagian Fungsi):

Tentukan turunan dari fungsi f(x) = sin(x) / cos(x) (Catatan: fungsi ini ekuivalen dengan tan(x))

  1. Misalkan pembilang u = sin(x) → u' = cos(x)
  2. Misalkan penyebut v = cos(x) → v' = -sin(x)
  3. Masukkan ke rumus pembagian (u'v - uv') / v2: [cos(x) · cos(x) - sin(x) · (-sin(x))] / cos2(x)
  4. Sederhanakan pembilang menjadi cos2(x) + sin2(x) = 1 (Identitas Trigonometri).
  5. Hasil akhir: f'(x) = 1 / cos2(x) atau sec2(x)

3. Aturan Rantai (Chain Rule) untuk Sudut Majemuk

Jika fungsi trigonometri memiliki sudut berupa fungsi lain (misalnya ax + b atau fungsi kuadrat), kita harus menurunkan fungsi luar (trigonometrinya) lalu dikalikan dengan turunan sudut di dalamnya.

Jika f(x) = sin(g(x))  ⇒  f'(x) = cos(g(x)) · g'(x)

Contoh Soal 3.1 (Sudut Aljabar Linear):

Tentukan turunan pertama dari fungsi: f(x) = cos(5x - 2)

  1. Turunkan fungsi luar (cos): Turunan cos adalah -sin, sudut tetap → -sin(5x - 2)
  2. Turunkan sudut bagian dalam (5x - 2): Turunannya adalah 5
  3. Kalikan hasil luar dan dalam: -sin(5x - 2) · 5 = -5 sin(5x - 2)

Contoh Soal 3.2 (Sudut Pangkat / Kuadrat):

Tentukan turunan pertama dari fungsi: f(x) = tan(3x2 + 1)

  1. Turunkan fungsi luar (tan): Turunan tan adalah sec2, sudut tetap → sec2(3x2 + 1)
  2. Turunkan sudut bagian dalam (3x2 + 1): Turunannya adalah 6x
  3. Kalikan hasil luar dan dalam: Letakkan koefisien x di depan → 6x sec2(3x2 + 1)

4. Turunan Fungsi Trigonometri Berpangkat

Bentuk ini melibatkan fungsi trigonometri yang dipangkatkan secara keseluruhan, seperti [sin(x)]n. Penyelesaiannya memadukan aturan pangkat luar dan aturan rantai trigonometri.

Jika f(x) = [sin(x)]n  ⇒  f'(x) = n · [sin(x)]n-1 · cos(x)

Contoh Soal 4.1 (Pangkat pada Sinus):

Tentukan turunan pertama dari fungsi: f(x) = sin4(x) (atau ditulis [sin(x)]4)

  1. Turunkan pangkat luar: Pindahkan angka 4 ke depan, kurangi pangkat 1 → 4 sin3(x)
  2. Turunkan fungsi dalam (sin(x)): Turunan dari sin(x) adalah cos(x)
  3. Kalikan semua komponen: 4 sin3(x) · cos(x) = 4 sin3(x) cos(x)

Contoh Soal 4.2 (Pangkat pada Kosinus dengan Sudut Majemuk):

Tentukan turunan pertama dari fungsi: f(x) = cos3(2x)

  1. Turunkan pangkat luar: 3 cos2(2x)
  2. Turunkan fungsi kosinus: Turunan cos adalah -sin(2x)
  3. Turunkan sudut di dalam (2x): Turunannya adalah 2
  4. Kalikan seluruh hasil: 3 · cos2(2x) · (-sin(2x)) · 2 = -6 sin(2x) cos2(2x)

5. Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Sama seperti fungsi aljabar, turunan trigonometri banyak digunakan untuk mencari gradien garis singgung kurva trigonometri serta menentukan titik stasioner (maksimum/minimum).

  • Gradien Garis Singgung: Nilai kemiringan kurva trigonometri pada titik berabsis x1 dicari melalui m = f'(x1).
  • Titik Stasioner: Nilai stasioner tercapai ketika syarat turunan pertama terpenuhi, yaitu f'(x) = 0.

Contoh Soal 5.1 (Persamaan Garis Singgung Kurva Trigonometri):

Tentukan gradien garis singgung pada kurva y = sin(x) di titik yang berabsis x = π/3 (60 derajat)!

  1. Cari rumus turunan pertama (gradien m) dari fungsi y: y' = cos(x).
  2. Substitusikan nilai x = π/3 ke dalam turunan pertama: m = cos(π/3).
  3. Hitung nilai kosinus 60 derajat: cos(60°) = 1/2.

Contoh Soal 5.2 (Titik Stasioner Fungsi Trigonometri):

Tentukan titik stasioner dari fungsi f(x) = sin(x) dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π!

  1. Syarat stasioner adalah turunan pertama bernilai nol: f'(x) = 0 → cos(x) = 0.
  2. Cari nilai x dalam interval 0 hingga 2π yang memenuhi cos(x) = 0, yaitu saat sudut bernilai 90 derajat (π/2) dan 270 derajat (3π/2).
  3. Substitusikan nilai x ke fungsi asal f(x) untuk mendapatkan ordinat y:
    • Untuk x = π/2 → f(π/2) = sin(π/2) = 1 (Titik stasioner pertama: (π/2, 1))
    • Untuk x = 3π/2 → f(3π/2) = sin(3π/2) = -1 (Titik stasioner kedua: (3π/2, -1))
Catatan Belajar: Penguasaan identitas trigonometri dasar (seperti sin2(x) + cos2(x) = 1) sangat membantu dalam menyederhanakan hasil akhir perhitungan turunan fungsi trigonometri.