Rotasi | Perputaran
1. Konsep Dasar Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah jenis transformasi geometri isometri yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan cara memutarnya sejauh sudut tertentu (\(\alpha\)) terhadap suatu titik pusat perputaran tetap. Karena termasuk transformasi isometri, rotasi tidak mengubah ukuran, bentuk, maupun panjang objek asli, melainkan hanya mengubah posisi dan orientasi sudutnya.
Aturan Tanda Arah Putaran Sudut
- Berlawanan Arah Jarum Jam: Nilai sudut putar bernilai positif (\(+\alpha\)).
- Searah Jarum Jam: Nilai sudut putar bernilai negatif (\(-\alpha\)).
2. Rumus-Rumus Rotasi pada Bidang Kartesius
Perhitungan koordinat bayangan titik \(P(x, y)\) melalui proses rotasi dikelompokkan berdasarkan letak titik pusatnya:
A. Rotasi dengan Pusat di Titik Asal \(O(0, 0)\)
| Besar Sudut Rotasi | Rumus Koordinat Bayangan \(P'(x', y')\) | Matriks Transformasi |
|---|---|---|
| Sebesar \(+90^\circ\) atau \(-270^\circ\) | \((-y, x)\) | \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) |
| Sebesar \(+180^\circ\) atau \(-180^\circ\) | \((-x, -y)\) | \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) |
| Sebesar \(+270^\circ\) atau \(-90^\circ\) | \((y, -x)\) | \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) |
| Sebesar \(+360^\circ\) atau \(-360^\circ\) | \((x, y)\) | \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) |
| Sebesar sudut sembarang \(\alpha\) |
\(x' = x \cos\alpha - y \sin\alpha\) \(y' = x \sin\alpha + y \cos\alpha\) |
\(\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\) |
B. Rotasi dengan Pusat di Titik Tertentu \(M(a, b)\)
Jika titik \(P(x, y)\) diputar sejauh sudut \(\alpha\) dengan pusat titik acuan \(M(a, b)\), maka rumusan perhitungannya menggunakan penyesuaian translasi geser titik pusat:
Khusus untuk rotasi sebesar \(\mathbf{90^\circ}\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat \(M(a, b)\):
3. Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap
Contoh Soal 1 (Rotasi dengan Pusat \(O(0,0)\) sudut tertentu):
Tentukan koordinat bayangan titik \(A(5, -3)\) jika dirotasikan sejauh \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran di titik asal \(O(0, 0)\)!
Penyelesaian:
- Langkah 1: Identifikasi aturan rumus rotasi \(90^\circ\) pusat \(O(0,0)\)
Rumus cepat untuk rotasi \(+90^\circ\) adalah \((x, y) \rightarrow (-y, x)\). - Langkah 2: Masukkan komponen titik \(A(5, -3)\)
Diketahui \(x = 5\) dan \(y = -3\).
\(x' = -y = -(-3) = 3\)
\(y' = x = 5\) - Hasil Akhir: Koordinat bayangan titik \(A\) adalah \(A'(3, 5)\).
Contoh Soal 2 (Rotasi dengan Pusat di Luar Titik Asal \(M(a, b)\)):
Tentukan koordinat bayangan titik \(B(2, 4)\) apabila dirotasikan sejauh \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat \(M(1, 1)\)!
Penyelesaian:
- Langkah 1: Tentukan komponen pusat dan titik asal
Titik asal \((x, y) = (2, 4)\) dan titik pusat \((a, b) = (1, 1)\). - Langkah 2: Gunakan rumus rotasi \(90^\circ\) dengan pusat \(M(a, b)\)
\(x' = a - (y - b)\)
\(y' = b + (x - a)\) - Langkah 3: Hitung nilai koordinat bayangan
\(x' = 1 - (4 - 1) = 1 - 3 = -2\)
\(y' = 1 + (2 - 1) = 1 + 1 = 2\) - Hasil Akhir: Koordinat bayangan titik \(B\) adalah \((-2, 2)\).
Contoh Soal 3 (Rotasi pada Persamaan Garis Lurus):
Tentukan persamaan bayangan garis \(x - 2y + 4 = 0\) jika dirotasikan sebesar \(180^\circ\) terhadap titik pusat \(O(0, 0)\)!
Penyelesaian:
- Langkah 1: Gunakan rumus hubungan rotasi \(180^\circ\) pusat \(O(0,0)\)
Rumus bayangan titik: \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix} \] Maka diperoleh hubungan variabel asal:- \(x' = -x \implies x = -x'\)
- \(y' = -y \implies y = -y'\)
- Langkah 2: Substitusikan nilai \(x\) dan \(y\) ke persamaan garis awal
Persamaan awal: \(x - 2y + 4 = 0$
Substitusi bentuk baru: \[ (-x') - 2(-y') + 4 = 0 \] \[ -x' + 2y' + 4 = 0 \] - Langkah 3: Rapikan persamaan bayangan
Kalikan seluruh ruas dengan \(-1\) agar koefisien \(x'\) bernilai positif: \[ x' - 2y' - 4 = 0 \] - Hasil Akhir: Persamaan bayangan garis tersebut adalah \(x - 2y - 4 = 0\).