Proyeksi Ortogonal Vektor

Proyeksi Ortogonal Vektor

1. Pengertian Proyeksi Ortogonal Vektor

Proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain adalah proses mencerminkan atau memproyeksikan ujung suatu vektor secara tegak lurus (ortogonal) ke garis yang berimpit dengan vektor acuannya.

Dalam materi vektor, terdapat dua jenis bentuk proyeksi yang sering dipelajari, yaitu:

  • Panjang Proyeksi Skalar Vektor: Menghasilkan nilai ukuran panjang dari hasil proyeksi tersebut (berupa bilangan skalar).
  • Vektor Proyeksi Ortogonal: Menghasilkan sebuah vektor baru yang terletak searah atau berlawanan arah dengan vektor acuannya.

2. Panjang Proyeksi Skalar Vektor

Jika terdapat vektor \(\vec{a}\) yang diproyeksikan pada vektor \(\vec{b}\), maka panjang proyeksi skalar ortogonal vektor \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) (katakanlah \(|c|\)) dirumuskan sebagai perkalian dot product kedua vektor dibagi dengan panjang vektor tempat ia diproyeksikan:

\[ |c| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \]

Contoh Soal 2.1: Diketahui vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Hitunglah panjang proyeksi skalar vektor \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\)!

Penyelesaian:

  • Hitung perkalian dot product (\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)): \((3)(4) + (4)(3) = 12 + 12 = 24\)
  • Hitung panjang vektor \(\vec{b}\) (\(|\vec{b}|\)): \(\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
  • Masukkan ke dalam rumus panjang proyeksi skalar: \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{24}{5} = 4,8\)

3. Vektor Proyeksi Ortogonal

Jika yang ditanyakan adalah bentuk vektornya secara utuh (bukan sekadar panjangnya), maka rumus vektor proyeksi ortogonal vektor \(\vec{a}\) pada vektor \(\vec{b}\) dirumuskan sebagai berikut:

\[ \vec{c} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \]

Atau apabila dijabarkan menggunakan komponen dalam bentuk kuadrat panjang vektor \(\vec{b}\) (karena \(|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2\)):

\[ \vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{x_2^2 + y_2^2} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \]

Contoh Soal 3.1: Tentukan vektor proyeksi ortogonal dari vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) pada vektor \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)!

Penyelesaian:

  • Hitung dot product \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \((1)(3) + (4)(0) = 3 + 0 = 3\)
  • Hitung kuadrat panjang vektor \(\vec{b}\) (\(|\vec{b}|^2\)): \(3^2 + 0^2 = 9\)
  • Gunakan rumus vektor proyeksi: \(\vec{c} = \frac{3}{9} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
  • Hasil akhir: \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Contoh Soal 3.2: Diketahui vektor \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Tentukan vektor proyeksi ortogonal dari \(\vec{p}\) pada \(\vec{q}\)!

Penyelesaian:

  • Cari nilai dot product \(\vec{p} \cdot \vec{q}\): \((2)(1) + (5)(2) = 2 + 10 = 12\)
  • Cari kuadrat panjang vektor \(\vec{q}\) (\(|\vec{q}|^2\)): \(1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5\)
  • Substitusikan ke rumus vektor proyeksi: \(\vec{c} = \frac{12}{5} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
  • Sederhanakan ke dalam bentuk komponen vektor: \(\vec{c} = \begin{pmatrix} \frac{12}{5} \\ \frac{24}{5} \end{pmatrix}\)