Pengertian Vektor

Pengenalan Vektor (Materi, Contoh Soal, & Visualisasi Kartesius)

1. Pengertian Vektor

Apa itu vektor? Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah.

Perbedaan besaran skalar dan vektor: Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai (besar) saja tanpa memiliki arah. Sebaliknya, besaran vektor memiliki nilai dan arah sekaligus.

Contoh besaran skalar: Massa, waktu, suhu, panjang, dan luas.

Contoh besaran vektor: Perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya.

Contoh vektor dalam kehidupan sehari-hari: Pergerakan pesawat terbang yang memperhitungkan arah angin dan kecepatan, seseorang yang mendorong meja dengan arah dan kekuatan tertentu, serta navigasi perjalanan menggunakan GPS.

Contoh Soal 1.1: Manakah di antara kelompok besaran berikut yang seluruhnya merupakan besaran vektor?

A. Massa, Waktu, Suhu
B. Kecepatan, Gaya, Perpindahan
C. Panjang, Luas, Volume
D. Laju, Waktu, Percepatan

Penyelesaian:

  • Kelompok A berisi besaran skalar (massa, waktu, suhu).
  • Kelompok B berisi kecepatan, gaya, dan perpindahan yang semuanya memiliki nilai serta arah (besaran vektor).
  • Kelompok C dan D merupakan campuran atau besaran skalar.
  • Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Contoh Soal 1.2: Mengapa suhu tubuh manusia sebesar 36,5°C dikategorikan sebagai besaran skalar?

Penyelesaian:

  • Suhu tubuh hanya dinyatakan dengan nilai angka dan satuan saja (36,5°C) tanpa memerlukan arah orientasi tertentu. Oleh karena itu, suhu merupakan besaran skalar.

2. Notasi dan Penulisan Vektor

Notasi vektor dengan huruf: Vektor umumnya dinotasikan menggunakan huruf kecil, seperti \(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{v}\).

Penulisan vektor menggunakan tanda panah: Dapat dituliskan dengan tanda panah di atas hurufnya, seperti \(\vec{a}\) atau menggunakan dua huruf kapital yang menyatakan titik pangkal ke ujung, seperti \(\vec{AB}\).

Dalam aljabar, vektor dapat dinyatakan dalam bentuk:

  • Vektor Kolom: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)
  • Vektor Baris: \(\vec{a} = (3, 4)\)

Contoh Soal 2.1: Sebuah vektor berawal dari titik P dan berakhir di titik Q. Bagaimana penulisan notasi vektor tersebut dengan tanda panah?

Penyelesaian:

  • Titik pangkal di P dan ujung di Q dinotasikan sebagai \(\vec{PQ}\).

Contoh Soal 2.2: Ubahlah bentuk vektor baris \(\vec{u} = (-1, 5)\) ke dalam bentuk vektor kolom!

Penyelesaian:

  • Komponen x diletakkan di baris atas (\(-1\)) dan komponen y di baris bawah (\(5\)).
  • Bentuk vektor kolomnya adalah \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\).

3. Gambaran Geometris Vektor

Vektor sebagai anak panah: Secara geometris, suatu vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah atau anak panah.

Titik pangkal dan titik ujung: Pangkal anak panah disebut titik tangkap (titik pangkal), sedangkan ujung panah yang berujung runcing menunjukkan arah dari vektor tersebut.

Arah vektor dan Panjang/Besar vektor: Arah panah menunjukkan ke mana vektor tersebut mengarah, sementara panjang ruas garis panah merepresentasikan besar atau nilai dari vektor itu.

Vektor yang sama: Dua buah vektor dikatakan sama jika memiliki besar (panjang) dan arah yang sama, meskipun diletakkan pada posisi titik pangkal yang berbeda di bidang.

Visualisasi Geometris Vektor sebagai Anak Panah

Contoh Soal 3.1: Pada representasi geometris anak panah, bagian manakah yang menunjukkan besaran atau nilai dari suatu vektor?

Penyelesaian:

  • Panjang ruas garis dari anak panah tersebut menyatakan besar atau nilai dari vektor.

Contoh Soal 3.2: Dua buah vektor digambarkan di tempat terpisah tetapi mempunyai panjang anak panah yang sama persis serta menunjuk ke arah timur laut yang sama. Apakah kedua vektor tersebut dapat disebut sebagai vektor yang sama? Jelaskan!

Penyelesaian:

  • Ya, kedua vektor tersebut sama karena syarat kesamaan vektor secara geometris hanya bergantung pada kesamaan besar (panjang) dan arahnya, tanpa terikat oleh letak titik pangkalnya.

4. Komponen Vektor

Komponen x dan Komponen y: Vektor pada bidang Kartesius diuraikan ke dalam komponen horizontal (\(x\)) dan komponen vertikal (\(y\)).

Vektor pada bidang Kartesius: Menggambarkan posisi perpindahan sepanjang sumbu-x dan sumbu-y.

Menentukan komponen vektor dari dua titik: Jika terdapat titik awal \(A(x_1, y_1)\) dan titik akhir \(B(x_2, y_2)\), komponen vektor \(\vec{AB}\) ditentukan melalui rumus:

\[ \vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} \]

Visualisasi Vektor \(\vec{AB}\) pada Bidang Kartesius dari A(2, 1) ke B(5, 5)

Contoh Soal 4.1: Tentukan komponen vektor \(\vec{AB}\) jika diketahui titik pangkal \(A(2, 3)\) dan titik ujung \(B(5, 7)\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus komponen vektor dari dua titik: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}\)
  • Substitusikan nilai koordinat: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 7 - 3 \end{pmatrix}\)
  • Hitung selisihnya: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Contoh Soal 4.2: Diketahui titik pangkal \(P(-1, 4)\) dan vektor \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\). Tentukan koordinat titik ujung \(Q\)!

Penyelesaian:

  • Rumus komponen: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} x_Q - x_P \\ y_Q - y_P \end{pmatrix}\)
  • Masukkan data yang diketahui: \(\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_Q - (-1) \\ y_Q - 4 \end{pmatrix}\)
  • Selesaikan untuk komponen x: \(x_Q + 1 = 4 \implies x_Q = 3\)
  • Selesaikan untuk komponen y: \(y_Q - 4 = -2 \implies y_Q = 2\)
  • Jadi, koordinat titik \(Q\) adalah \((3, 2)\).