Panjang dan Satuan Vektor

Panjang dan Satuan Vektor

1. Panjang / Besar Vektor

Besar atau panjang suatu vektor menyatakan ukuran jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektor tersebut. Nilai panjang vektor selalu bernilai positif atau nol.

Rumus Panjang Vektor pada Bidang (2 Dimensi)

Jika terdapat vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) pada bidang dua dimensi, maka panjang vektor \(\vec{a}\) (dinotasikan dengan \(|\vec{a}|\)) dirumuskan sebagai:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Panjang Vektor dalam Ruang (3 Dimensi)

Jika vektor berada dalam ruang tiga dimensi dengan komponen \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\), maka rumus panjang vektornya adalah:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Contoh Soal 1.1: Hitunglah panjang vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus panjang vektor 2 dimensi: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
  • Substitusikan nilai komponen: \(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2}\)
  • Hitung kuadratnya: \(|\vec{v}| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\)
  • Hasil akhir: \(|\vec{v}| = 5\)

Contoh Soal 1.2: Tentukan besar vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) dalam ruang 3 dimensi!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus panjang vektor 3 dimensi: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
  • Masukkan nilai komponen: \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}\)
  • Hitung nilai kuadratnya: \(|\vec{a}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9}\)
  • Hasil akhir: \(|\vec{a}| = 3\)

2. Vektor Satuan

Pengertian Vektor Satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang memiliki panjang atau besar tepat sama dengan \(1\) (satu). Vektor satuan sering digunakan untuk mendefinisikan arah dari suatu vektor tertentu tanpa mengubah nilainya.

Vektor Satuan Basis (\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\))

Dalam sistem koordinat Kartesius, terdapat vektor satuan basis standar yang searah dengan sumbu-sumbu koordinat:

  • \(\mathbf{i}\) adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu-x positif: \(\mathbf{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
  • \(\mathbf{j}\) adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu-y positif: \(\mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
  • \(\mathbf{k}\) adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu-z positif: \(\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Menentukan Vektor Satuan dari Suatu Vektor

Jika diketahui suatu vektor \(\vec{a}\), maka vektor satuan dari \(\vec{a}\) (biasanya dinotasikan dengan \(\hat{e}\) atau \(\hat{a}\)) dirumuskan sebagai vektor tersebut dibagi dengan panjang vektor itu sendiri:

\[ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \]

Contoh Soal 2.1: Tentukan vektor satuan dari vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)!

Penyelesaian:

  • Hitung terlebih dahulu panjang vektor \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
  • Gunakan rumus vektor satuan \(\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\):
  • \(\hat{a} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}\)

Contoh Soal 2.2: Tentukan vektor satuan dari \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)!

Penyelesaian:

  • Cari panjang vektor \(\vec{p}\): \(|\vec{p}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
  • Bagikan setiap komponen vektor \(\vec{p}\) dengan panjangnya (\(3\)):
  • \(\hat{p} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}\)