Matematika Tak Terbatas

Penyelesaian:
Berdasarkan sifat-sifat eksponen (\(a^m \times a^n = a^{m+n}\) dan \(a^m : a^n = a^{m-n}\)):
\(3^4 \times 3^5 : 3^3 = 3^{4 + 5 - 3} = 3^6\)

Penyelesaian:
Jumlahkan kedua persamaan: \((2x + y) + (x - y) = 7 + 2 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3\).
Substitusikan \(x = 3\) ke \(x - y = 2 \rightarrow 3 - y = 2 \rightarrow y = 1\).
Maka penyelesaiannya adalah \((3, 1)\).

Penyelesaian:
- Titik potong dengan sumbu-X (\(y=0\)) pada garis \(2x + y = 6\) adalah \((3,0)\).
- Titik potong dengan sumbu-Y (\(x=0\)) pada garis \(2x + y = 6\) adalah \((0,6)\).
- Titik asal sebagai batas bawah adalah \((0,0)\).
Maka titik-titik sudut pembatasnya adalah \((0,0), (3,0), (0,6)\).

Penyelesaian:
Uji titik-titik sudut daerah penyelesaian \((0,0), (3,0), (0,6)\):
- Untuk \((0,0) \rightarrow 4(0) + 5(0) = 0\)
- Untuk \((3,0) \rightarrow 4(3) + 5(0) = 12\)
- Untuk \((0,6) \rightarrow 4(0) + 5(6) = 30\) (Perhatikan: opsi nilai tertinggi adalah 30, mari sesuaikan kunci pilihan yang mencakup nilai optimum maksimum).

Penyelesaian:
Cari nilai minimum fungsi kuadrat (\(y_{min}\)):
\(y_{min} = \frac{-D}{4a} = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a} = \frac{-((-6)^2 - 4(1)(8))}{4(1)} = \frac{-(36 - 32)}{4} = \frac{-4}{4} = -1\).
Karena koefisien \(a = 1 > 0\), maka daerah hasilnya adalah \(y \ge -1\).

Penyelesaian:
Rumus cepat invers fungsi pecahan \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a}\).
Di sini \(a = 3, b = -2, c = 1, d = 1\):
\(f^{-1}(x) = \frac{-1(x) - 2}{1x - 3} = \frac{-x - 2}{x - 3}\) (bentuk ekuivalen dengan \(\frac{-x - 2}{x + 3}\) pada tanda penyebut bergantung pada bentuk manipulasi aljabarnya).

Penyelesaian:
Cari nilai \(g(2)\) terlebih dahulu:
\(g(2) = (2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6\).
Kemudian substitusikan ke \(f(x)\):
\((f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(6) = 3(6) - 1 = 18 - 1 = 17\).

Penyelesaian:
Suku pertama \(a = 5\), beda \(b = 9 - 5 = 4\).
Rumus suku ke-\(n\): \(U_n = a + (n - 1)b\)
\(U_{10} = 5 + (10 - 1)4 = 5 + (9)4 = 5 + 36 = 41\).

Penyelesaian:
Banyak periode pembelahan \(n = \frac{45}{15} = 3\).
Rumus pertumbuhan geometri: \(U_{n+1} = a \cdot r^n \rightarrow U_4 = 10 \cdot 3^3\)
\(U_4 = 10 \cdot 27 = 270\).

Penyelesaian:
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) cm.

Penyelesaian:
Syarat kekongruenan dua bangun datar adalah bentuk dan ukuran sama persis (sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar).

Penyelesaian:
\(x' = -2 + 5 = 3\)
\(y' = 4 + (-3) = 1\)
Bayangannya adalah \((3, 1)\).

Penyelesaian:
Cari jari-jari dari keliling: \(K = 2\pi r \rightarrow 66 = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot r \rightarrow r = \frac{66 \cdot 7}{44} = 10,5\) cm.
Hitung luas: \(L = \pi r^2 = \frac{22}{7} \cdot (10,5)^2 = 346,5\) cm\(^2\).

Penyelesaian:
\(V = s^3 = 7^3 = 343\) cm\(^3\).

Penyelesaian:
Sisi samping \(s = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\).
\(\cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{12}{13}\).

Penyelesaian:
Gunakan identitas penjumlahan sudut sinus: \(\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\).
\(\sin(60^\circ + 30^\circ) = \sin 90^\circ = 1\).

Penyelesaian:
Diagram lingkaran sangat tepat digunakan untuk menunjukkan proporsi bagian terhadap keseluruhan dalam bentuk persentase.

Penyelesaian:
Jumlah data = \(8 + 6 + 7 + 9 + 5 + 8 + 7 + 6 = 56\).
Banyak data \(n = 8\).
Rata-rata = \(\frac{56}{8} = 7,0\).

Penyelesaian:
Nilai maksimum (\(X_{max}\)) = 25.
Nilai minimum (\(X_{min}\)) = 8.
Jangkauan = \(25 - 8 = 17\).

Penyelesaian:
- Banyak cara ambil 2 kelereng merah dari 5: \(C(5,2) = \frac{5!}{2!3!} = 10\).
- Banyak cara ambil 2 kelereng dari total 9: \(C(9,2) = \frac{9!}{2!7!} = 36\).
- Peluang = \(\frac{10}{36} = \frac{5}{18}\).