Pembahasan Terperinci:

Untuk menurunkan fungsi suku banyak (polinomial), kita menggunakan Aturan Pangkat (\(f(x) = a x^n \implies f'(x) = a \cdot n x^{n-1}\)) pada masing-masing suku secara terpisah:

• Suku pertama \(\to 5x^4\) diturunkan menjadi \(5 \cdot (4)x^{4-1} = 20x^3\).
• Suku kedua \(\to -3x^2\) diturunkan menjadi \(-3 \cdot (2)x^{2-1} = -6x^1 = -6x\).
• Suku ketiga \(\to 7x\) (ingat \(7x^1\)) diturunkan menjadi \(7 \cdot (1)x^{1-1} = 7x^0 = 7 \cdot 1 = 7\).
• Suku keempat \(\to -12\) (konstanta murni tanpa variabel \(x\)) jika diturunkan bernilai \(0\).

Menggabungkan seluruh hasil turunan suku-suku tersebut:

Pembahasan Terperinci:

Soal ini diselesaikan menggunakan Aturan Rantai (Chain Rule) untuk fungsi komposisi berpangkat dengan rumus dasar \(\frac{d}{dx}[u(x)]^n = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)\):

• Langkah 1: Anggap bagian dalam kurung sebagai fungsi \(u = 2x - 3\). Pindahkan pangkat \(5\) ke depan, kurangi pangkatnya dengan 1, sehingga menjadi \(5(2x - 3)^4\).
• Langkah 2: Kalikan hasilnya dengan turunan dari fungsi di dalam kurung \(u'\). Karena turunan dari \((2x - 3)\) adalah \(2\), maka kita kalikan:

Pembahasan Terperinci:

Kita dapat menggunakan Aturan Perkalian dengan rumus \(f'(x) = u'v + uv'\). Misalkan bagian-bagian fungsinya:

• \(u = x^2 + 3 \implies u' = 2x\)
• \(v = 3x - 1 \implies v' = 3\)

Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus aturan perkalian:

Lakukan penjabaran aljabar (kali pelangi) dan sederhanakan suku sejenis:

Pembahasan Terperinci:

Gunakan Aturan Pembagian (Quotient Rule) dengan rumus \(f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\):

• Pembilang: \(u = 2x + 1 \implies u' = 2\)
• Penyebut: \(v = x - 3 \implies v' = 1\)

Substitusikan ke dalam rumus pembagian secara teliti:

Buka kurung negatif pada bagian pembilang dan gabungkan suku yang sejenis:

Pembahasan Terperinci:

Bentuk akar kuadrat dapat diubah terlebih dahulu menjadi bentuk pangkat pecahan, yaitu \(\sqrt{p} = p^{\frac{1}{2}}\). Maka fungsi menjadi \(f(x) = (x^2 + 5x)^{\frac{1}{2}}\).

• Gunakan aturan rantai: turunkan pangkat pecahan ke depan, kurangi pangkat dengan 1 (\(\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\)).
• Kalikan dengan turunan fungsi di dalam kurung, yaitu turunan dari \((x^2 + 5x)\) yakni \((2x + 5)\).

Kembalikan pangkat negatif ke bentuk akar di bagian penyebut:

Pembahasan Terperinci:

Ingat bahwa turunan dasar fungsi sinus adalah kosinus (\(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)). Karena sudutnya berupa fungsi linear \((3x - \pi)\), kita harus mengalikannya dengan turunan sudut tersebut menggunakan aturan rantai:

• Turunan dari \(\sin(\text{sudut})\) menjadi \(\cos(\text{sudut})\).
• Turunan dari sudut \((3x - \pi)\) terhadap \(x\) adalah \(3 - 0 = 3\).

Pembahasan Terperinci:

Tulis ulang fungsi agar bentuk pangkatnya jelas, yaitu \(f(x) = (\cos x)^2\). Terapkan kombinasi aturan pangkat luar dan turunan fungsi kosinus (\(\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x\)):

• Pindahkan pangkat 2 ke depan, kurangi pangkatnya jadi 1: \(2(\cos x)^1\).
• Kalikan dengan turunan fungsi di dalam tanda kurung, yaitu turunan dari \(\cos x\) yakni \(-\sin x\).

Berdasarkan identitas sudut rangkap trigonometri (\(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)), hasil akhirnya dapat disederhanakan menjadi:

Pembahasan Terperinci:

Gunakan kembali aturan perkalian \(f'(x) = u'v + uv'\) dengan mengidentifikasi komponen fungsi:

• \(u = x^2 \implies u' = 2x\)
• \(v = \sin x \implies v' = \cos x\)

Substitusikan ke dalam rumus aturan perkalian:

Pembahasan Terperinci:

• Langkah 1: Cari fungsi turunan pertama \(f'(x)\) terlebih dahulu menggunakan aturan pangkat: \[ f'(x) = 3(3x^2) - 4(2x) + 0 = 9x^2 - 8x \]
• Langkah 2: Substitusikan nilai \(x = 2\) ke dalam fungsi turunan yang sudah diperoleh: \[ f'(2) = 9(2)^2 - 8(2) \] \[ f'(2) = 9(4) - 16 \] \[ f'(2) = 36 - 16 = 20 \]

Pembahasan Terperinci:

Persamaan garis singgung memerlukan titik koordinat singgung \((x_1, y_1)\) dan nilai gradien (\(m\)):

• Mencari Ordinat (\(y_1\)): Masukkan \(x = 1\) ke persamaan kurva: \[ y_1 = (1)^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \] Diperoleh titik singgung \((x_1, y_1) = (1, 0)\).
• Mencari Gradien (\(m\)): Gradien garis singgung adalah nilai turunan pertama kurva di titik tersebut (\(m = y'\)): \[ y' = 2x - 4 \] Substitusi \(x = 1 \to m = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2\).
• Menyusun Persamaan Garis: Menggunakan rumus \(y - y_1 = m(x - x_1)\): \[ y - 0 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 2 \]

Pembahasan Terperinci:

Syarat mutlak agar suatu fungsi berada dalam kondisi naik adalah nilai turunan pertamanya harus bernilai positif (\(f'(x) > 0\)):

• Tentukan turunan fungsi: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\).
• Tulis pertidaksamaan: \(3x^2 - 6x - 9 > 0\), sederhanakan dengan membagi \(3\): \[ x^2 - 2x - 3 > 0 \]
• Faktorkan bentuk kuadrat tersebut: \((x - 3)(x + 1) > 0\).
• Akar-akar pembuat nol adalah \(x = 3\) dan \(x = -1\). Menggunakan uji garis bilangan untuk tanda pertidaksamaan bertanda lebih dari (\(>\)), daerah positif berada di luar akar-akar tersebut.

Pembahasan Terperinci:

Kondisi stasioner terjadi pada saat turunan pertama fungsi bernilai nol (\(f'(x) = 0\)):

• Hitung turunan: \(f'(x) = 3x^2 - 12\).
• Selesaikan persamaan stasioner: \[ 3x^2 - 12 = 0 \implies 3(x^2 - 4) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ atau } x = -2 \]
• Hitung nilai fungsi \(f(x)\) untuk masing-masing nilai \(x\) stasioner:
  • Untuk \(x = 2 \to f(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16\) (Nilai balik minimum)
  • Untuk \(x = -2 \to f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16\) (Nilai balik maksimum)

Pembahasan Terperinci:

Ketinggian maksimum dalam gerak vertikal tercapai pada detik ke-\(t\) ketika kecepatan sesaatnya bernilai nol (\(h'(t) = 0\)):

• Turunkan persamaan ketinggian untuk mendapatkan kecepatan: \[ h'(t) = 40 - 10t \]
• Tetapkan turunan sama dengan nol: \[ 40 - 10t = 0 \implies 10t = 40 \implies t = 4 \text{ detik} \]
• Masukkan waktu \(t = 4\) kembali ke persamaan fungsi tinggi \(h(t)\): \[ h(4) = 40(4) - 5(4)^2 = 160 - 5(16) = 160 - 80 = 80 \]

Pembahasan Terperinci:

Turunan kedua diperoleh dengan cara menurunkan fungsi aslinya secara berturut-turut sebanyak dua kali:

• Turunan Pertama (\(f'(x)\)): \[ f'(x) = 4(3x^2) - 5(2x) + 2(1) - 0 = 12x^2 - 10x + 2 \]
• Turunan Kedua (\(f''(x)\)): Turunkan kembali hasil \(f'(x)\) terhadap \(x\): \[ f''(x) = 12(2x) - 10(1) + 0 = 24x - 10 \]

Pembahasan Terperinci:

Rumus dasar turunan fungsi tangen adalah \(\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x\). Sesuai aturan rantai, kita juga harus mengalikan dengan turunan bagian sudut di dalamnya:

• Turunan dari \(\tan(\text{sudut})\) adalah \(\sec^2(\text{sudut})\).
• Turunan dari sudut \(4x\) adalah \(4\).

Pembahasan Terperinci:

Nilai optimum (minimum) dari suatu fungsi biaya tercapai pada kondisi turunan pertamanya sama dengan nol (\(B'(x) = 0\)):

• Turunkan fungsi biaya total terhadap variabel \(x\): \[ B'(x) = 3(2x) - 120 + 0 = 6x - 120 \]
• Tetapkan nilai turunan sama dengan nol: \[ 6x - 120 = 0 \implies 6x = 120 \implies x = 20 \]

Pembahasan Terperinci:

• Langkah 1: Cari titik stasioner dengan menetapkan turunan pertama bernilai nol: \[ f'(x) = -4x + 8 = 0 \implies 4x = 8 \implies x = 2 \]
• Langkah 2: Substitusikan nilai \(x = 2\) ke fungsi asal untuk mencari nilai maksimumnya: \[ f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 3 \] \[ f(2) = -2(4) + 16 + 3 = -8 + 16 + 3 = 11 \]

Pembahasan Terperinci:

Gunakan aturan rantai secara sistematis:

• Turunkan pangkat luar dengan mengalikannya ke depan dan mengurangi pangkat kurung sebesar 1: \(4(3x^2 - 1)^3\).
• Kalikan dengan turunan dari ekspresi di dalam kurung \((3x^2 - 1)\), yaitu \(6x\).

Kalikan konstanta di luar kurung (\(4 \cdot 6x = 24x\)):

Pembahasan Terperinci:

• Cari Gradien Garis Singgung Kurva (\(m_1\)): Turunkan kurva untuk mendapatkan rumus gradien garis singgung (\(y'\)): \[ y' = 3x^2 - 2 \] Masukkan \(x = 1 \to m_1 = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1\).
• Cari Gradien Garis \(l\) (\(m_2\)): Karena garis \(l\) tegak lurus dengan garis singgung (\(m_1 \cdot m_2 = -1\)), maka berlaku hubungan negatif kebalikan: \[ m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1} = -1 \]

Pembahasan Terperinci:

• Menyusun Fungsi Volume:
  • Panjang alas kotak setelah dipotong sudut \(x\) di kedua sisi: \(p = 12 - 2x\)
  • Lebar alas kotak: \(l = 12 - 2x\)
  • Tinggi kotak: \(t = x\)
  Fungsi volume kotak adalah \(V(x) = p \cdot l \cdot t = x(12 - 2x)^2\).
• Menjabarkan Fungsi Volume: \[ V(x) = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x \]
• Mencari Syarat Optimum (Volume Maksimum): Turunan pertama volume harus bernilai nol (\(V'(x) = 0\)): \[ V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 0 \] Sederhanakan dengan membagi \(12\): \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \implies (x - 2)(x - 6) = 0 \] Diperoleh akar \(x = 2\) atau \(x = 6\).
• Analisis Syarat Fisik: Jika \(x = 6\), ukuran panjang alas menjadi \(12 - 2(6) = 0\) (tidak mungkin terbentuk kotak). Oleh karena itu, nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(2\).