Refleksi | Pencerminan

Refleksi (Pencerminan) - Geometri Transformasi

1. Konsep Dasar Refleksi (Pencerminan)

Refleksi (pencerminan) adalah salah satu jenis transformasi geometri isometri yang memindahkan setiap titik pada bidang kartesius dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Karena bersifat isometri, posisi dan arah objek dapat berubah (terbalik), namun ukuran, panjang garis, sudut, dan bentuk bangun datar yang dicerminkan akan tetap identik dengan bentuk aslinya.

Sifat-Sifat Utama Refleksi

  • Jarak Sama: Jarak titik asal ke garis/titik cermin sama persis dengan jarak titik bayangan ke garis/titik cermin.
  • Tegak Lurus: Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangannya selalu tegak lurus (\(90^\circ\)) terhadap garis cermin.
  • Ukuran Tetap: Bentuk dan luas bangun bayangan sama dengan bangun asli (kongruen).
  • Orientasi Terbalik: Orientasi objek asli dan bayangan saling berhadapan (terbalik secara simetris).
Visualisasi Geometris: Refleksi Titik terhadap Garis Cermin
Garis Cermin (m) A (Titik Asal) A' (Bayangan) Jarak d Jarak d

2. Rumus-Rumus Refleksi pada Bidang Kartesius

Secara umum, bayangan titik \(P(x, y)\) oleh berbagai jenis pencerminan dapat dihitung menggunakan rumus koordinat maupun perkalian matriks transformasi berikut:

Jenis Refleksi / Cermin Titik Bayangan \(P'(x', y')\) Matriks Transformasi
Terhadap Sumbu-\(x\) \((x, -y)\) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
Terhadap Sumbu-\(y\) \((-x, y)\) \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Terhadap Titik Pusat \(O(0,0)\) \((-x, -y)\) \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
Terhadap Garis \(y = x\) \((y, x)\) \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
Terhadap Garis \(y = -x\) \((-y, -x)\) \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
Terhadap Garis \(x = h\) \((2h - x, y)\) -
Terhadap Garis \(y = k\) \((x, 2k - y)\) -
Terhadap Titik \(P(a, b)\) \((2a - x, 2b - y)\) -

3. Refleksi Garis dan Kurva

Jika yang dicerminkan adalah persamaaan garis atau kurva \(f(x, y) = 0\), langkah umum penyelesaiannya adalah:

  • Tentukan persamaan bayangan titik \((x', y')\) dalam variabel \((x, y)\).
  • Nyatakan variabel asal \(x\) dan \(y\) ke dalam bentuk variabel bayangan \(x'\) dan \(y'\).
  • Substitusikan nilai \(x\) dan \(y\) tersebut ke dalam persamaan garis/kurva awal.
  • Sederhanakan persamaan baru yang diperoleh untuk mendapatkan persamaan bayangan.

4. Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Contoh Soal 1 (Refleksi Titik Bertingkat / Komposisi):

Diketahui titik \(K(-3, 8)\). Titik tersebut dicerminkan terlebih dahulu terhadap garis \(y = -x\), kemudian hasilnya dicerminkan kembali terhadap garis \(x = 5\). Tentukan koordinat akhir bayangan titik \(K\)!

Penyelesaian:

  • Langkah 1: Refleksi pertama terhadap garis \(y = -x\)
    Rumus refleksi terhadap garis \(y = -x\) adalah \((x, y) \rightarrow (-y, -x)\).
    Substitusikan titik \(K(-3, 8)\):
    \(x' = -y = -8\)
    \(y' = -x = -(-3) = 3\)
    Diperoleh bayangan pertama: \(K'(-8, 3)\).
  • Langkah 2: Refleksi kedua terhadap garis \(x = 5\) (di mana \(h = 5\))
    Gunakan titik awal \(K'(-8, 3)\) dan rumus refleksi terhadap garis \(x = h\):
    \((x', y') \rightarrow (2h - x', y')\)
    Substitusikan nilai \(x' = -8\), \(y' = 3\), dan \(h = 5\):
    \(x'' = 2(5) - (-8) = 10 + 8 = 18\)
    \(y'' = 3\)
    Diperoleh bayangan akhir: \(K''(18, 3)\).
  • Hasil Akhir: Koordinat akhir bayangan titik \(K\) setelah dua kali pencerminan adalah \((18, 3)\).

Contoh Soal 2 (Refleksi Persamaan Garis Lurus):

Tentukan persamaan bayangan dari garis \(3x - 2y + 6 = 0\) jika dicerminkan terhadap sumbu-\(y\)!

Penyelesaian:

  • Langkah 1: Menentukan hubungan titik asal dan titik bayangan
    Rumus refleksi terhadap sumbu-\(y\) adalah: \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} \] Maka didapat hubungan:
    • \(x' = -x \implies x = -x'\)
    • \(y' = y \implies y = y'\)
  • Langkah 2: Substitusi ke persamaan garis awal
    Persamaan awal: \(3x - 2y + 6 = 0\)
    Ganti variabel \(x\) dengan \(-x'\) dan \(y\) dengan \(y'\): \[ 3(-x') - 2(y') + 6 = 0 \] \[ -3x' - 2y' + 6 = 0 \]
  • Langkah 3: Menyederhanakan persamaan bayangan
    Kalikan seluruh suku dengan \(-1\) agar koefisien \(x\) bernilai positif: \[ 3x' + 2y' - 6 = 0 \]
  • Hasil Akhir: Persamaan bayangan garis tersebut adalah \(3x + 2y - 6 = 0\).

Contoh Soal 3 (Refleksi Kurva Parabola terhadap Titik):

Tentukan persamaan bayangan kurva parabola \(y = x^2 - 4x + 3\) jika dicerminkan terhadap titik pusat \(P(2, -1)\)!

Penyelesaian:

  • Langkah 1: Menggunakan rumus refleksi terhadap titik \(P(a, b)\)
    Diketahui titik pusat pencerminan adalah \(P(2, -1)\), maka \(a = 2\) dan \(b = -1\).
    Rumus bayangan titik: \[ x' = 2a - x \implies x' = 2(2) - x = 4 - x \] \[ y' = 2b - y \implies y' = 2(-1) - y = -2 - y \]
  • Langkah 2: Nyatakan \(x\) dan \(y\) dalam variabel bayangan \(x'\) dan \(y'\)
    • \(x' = 4 - x \implies x = 4 - x'\)
    • \(y' = -2 - y \implies y = -2 - y'\)
  • Langkah 3: Substitusikan ke persamaan parabola awal
    Persamaan parabola awal: \(y = x^2 - 4x + 3\)
    Substitusi nilai \(x\) dan \(y\): \[ -2 - y' = (4 - x')^2 - 4(4 - x') + 3 \]
  • Langkah 4: Jabarkan dan sederhanakan
    \[ -2 - y' = (16 - 8x' + (x')^2) - (16 - 4x') + 3 \] \[ -2 - y' = 16 - 8x' + (x')^2 - 16 + 4x' + 3 \] \[ -2 - y' = (x')^2 - 4x' + 3 \] \[ -y' = (x')^2 - 4x' + 3 + 2 \] \[ -y' = (x')^2 - 4x' + 5 \] Kalikan kedua ruas dengan \(-1\): \[ y' = -(x')^2 + 4x' - 5 \]
  • Hasil Akhir: Persamaan bayangan parabola tersebut adalah \(y = -x^2 + 4x - 5\).