Matematika Tak Terbatas

Penyelesaian:
Berdasarkan sifat-sifat eksponen (\(a^m \times a^n = a^{m+n}\) dan \(a^m : a^n = a^{m-n}\)):
\(2^3 \times 2^4 : 2^2 = 2^{3 + 4 - 2} = 2^5\)

Penyelesaian:
Jumlahkan kedua persamaan: \((x + y) + (x - y) = 5 + 1 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3\).
Substitusikan \(x = 3\) ke \(x + y = 5 \rightarrow 3 + y = 5 \rightarrow y = 2\).
Maka penyelesaiannya adalah \((3, 2)\).

Penyelesaian:
- Titik potong dengan sumbu-X (\(y=0\)) pada garis \(x + y = 4\) adalah \((4,0)\).
- Titik potong dengan sumbu-Y (\(x=0\)) pada garis \(x + y = 4\) adalah \((0,4)\).
- Titik asal sebagai batas bawah adalah \((0,0)\).
Maka titik-titik sudut pembatasnya adalah \((0,0), (4,0), (0,4)\).

Penyelesaian:
Uji titik-titik sudut daerah penyelesaian \((0,0), (5,0), (0,5)\):
- Untuk \((0,0) \rightarrow 3(0) + 4(0) = 0\)
- Untuk \((5,0) \rightarrow 3(5) + 4(0) = 15\)
- Untuk \((0,5) \rightarrow 3(0) + 4(5) = 20\)
Nilai maksimumnya adalah 20.

Penyelesaian:
Cari nilai minimum fungsi kuadrat (\(y_{min}\)):
\(y_{min} = \frac{-D}{4a} = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a} = \frac{-((-4)^2 - 4(1)(3))}{4(1)} = \frac{-(16 - 12)}{4} = \frac{-4}{4} = -1\).
Karena koefisien \(a = 1 > 0\), maka daerah hasilnya adalah \(y \ge -1\).

Penyelesaian:
Rumus cepat invers fungsi pecahan \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a}\).
Di sini \(a = 2, b = 1, c = 1, d = -3\):
\(f^{-1}(x) = \frac{-(-3)x + 1}{1x - 2} = \frac{3x + 1}{x - 2}\), dengan \(x \neq 2\).

Penyelesaian:
Cari nilai \(g(2)\) terlebih dahulu:
\(g(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\).
Kemudian substitusikan ke \(f(x)\):
\((f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9\).

Penyelesaian:
Suku pertama \(a = 3\), beda \(b = 7 - 3 = 4\).
Rumus suku ke-\(n\): \(U_n = a + (n - 1)b\)
\(U_{10} = 3 + (10 - 1)4 = 3 + (9)4 = 3 + 36 = 39\).

Penyelesaian:
1 jam = 60 menit. Banyak periode pembelahan \(n = \frac{60}{10} = 6\).
Rumus pertumbuhan geometri: \(U_{n+1} = a \cdot r^n \rightarrow U_7 = 20 \cdot 2^6\)
\(U_7 = 20 \cdot 64 = 1280\).

Penyelesaian:
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm.

Penyelesaian:
Syarat kesebangunan bangun datar adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang senilai.

Penyelesaian:
\(x' = 3 + (-2) = 1\)
\(y' = -5 + 4 = -1\)
Bayangannya adalah \((1, -1)\).

Penyelesaian:
Cari jari-jari dari keliling: \(K = 2\pi r \rightarrow 44 = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot r \rightarrow 44 = \frac{44}{7} r \rightarrow r = 7\) cm.
Hitung luas: \(L = \pi r^2 = \frac{22}{7} \cdot 7^2 = 22 \cdot 7 = 154\) cm\(^2\).

Penyelesaian:
\(V = s^3 = 6^3 = 216\) cm\(^3\).

Penyelesaian:
Sisi miring (hipotenusa) \(r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).
\(\cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{4}{5}\).

Penyelesaian:
Masukkan nilai sudut istimewa:
\(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\).

Penyelesaian:
Diagram garis sangat ideal digunakan untuk menampilkan perubahan atau tren data secara kronologis dari waktu ke waktu.

Penyelesaian:
Jumlah data = \(6 + 7 + 8 + 5 + 9 + 7 + 8 = 50\).
Banyak data \(n = 7\).
Rata-rata = \(\frac{50}{7} \approx 7,14\) (dibulatkan atau disesuaikan dengan opsi terdekat).

Penyelesaian:
Nilai maksimum (\(x_{max}\)) = 20.
Nilai minimum (\(x_{min}\)) = 5.
Jangkauan = \(x_{max} - x_{min} = 20 - 5 = 15\).

Penyelesaian:
- Banyak cara mengambil 2 kelereng merah dari 4: \(C(4,2) = \frac{4!}{2!2!} = 6\).
- Banyak cara mengambil 2 kelereng dari total 7 kelereng: \(C(7,2) = \frac{7!}{2!5!} = 21\).
- Peluang = \(\frac{6}{21} = \frac{2}{7}\).