Perkalian Skalar (Dot Product) Dua Vektor

Perkalian Skalar (Dot Product) Dua Vektor

1. Pengertian Perkalian Skalar (Dot Product)

Perkalian skalar dua vektor (dikenal juga sebagai dot product atau perkalian titik) adalah operasi perkalian antara dua buah vektor yang menghasilkan suatu nilai berupa bilangan skalar (bukan vektor). Operasi ini dinotasikan dengan tanda titik (\(\cdot\)), seperti \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

2. Rumus Dot Product Berdasarkan Komponen

Pada Bidang (2 Dimensi)

Jika diketahui dua buah vektor pada bidang 2 dimensi yaitu \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\), maka perkalian skalar kedua vektor tersebut dirumuskan sebagai:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 \]

Pada Ruang (3 Dimensi)

Jika vektor berada dalam ruang 3 dimensi dengan \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}\), maka rumusnya menjadi:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \]

Contoh Soal 2.1: Diketahui vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\). Hitunglah nilai dari \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus perkalian komponen: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)
  • Substitusikan nilai komponen: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(4) + (3)(-1)\)
  • Hitung hasil perkalian dan penjumlahannya: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 - 3 = 5\)

Contoh Soal 2.2: Tentukan hasil perkalian skalar antara vektor \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus ruang 3 dimensi: \(\vec{p} \cdot \vec{q} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)
  • Masukkan nilai masing-masing komponen: \(\vec{p} \cdot \vec{q} = (1)(2) + (-2)(2) + (3)(1)\)
  • Selesaikan operasi hitung: \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 2 - 4 + 3 = 1\)

3. Rumus Dot Product Berdasarkan Sudut Antara Dua Vektor

Jika besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) adalah \(\theta\), maka nilai perkalian skalar dapat dihitung menggunakan panjang kedua vektor dan nilai kosinus sudut di antaranya:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos\theta \]

Dari rumus di atas, kita juga dapat menentukan besar sudut \(\theta\) antara dua vektor dengan mengubah susunannya menjadi:

\[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

Contoh Soal 3.1: Diketahui panjang vektor \(|\vec{a}| = 4\) dan \(|\vec{b}| = 5\). Jika sudut antara kedua vektor tersebut adalah \(60^\circ\), hitunglah nilai \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)! (Catatan: \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\))

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus sudut: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos\theta\)
  • Substitusikan nilai yang diketahui: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(5) \cos 60^\circ\)
  • Hitung nilainya: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 10\)

4. Sifat-Sifat Penting Dot Product

Beberapa sifat aljabar yang berlaku pada perkalian skalar dua vektor meliputi:

  • Sifat Komutatif: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
  • Sifat Distributif terhadap Penjumlahan: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
  • Jika dua vektor saling tegak lurus (ortogonal), maka sudut \(\theta = 90^\circ\) sehingga nilai dot product-nya sama dengan nol: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).
  • Jika dua vektor searah, maka \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\).