Dilatasi | Perubahan Ukuran

Dilatasi (Perkalian) - Geometri Transformasi

1. Konsep Dasar Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi adalah transformasi geometri non-isometri yang mengubah ukuran suatu objek (bisa memperbesar atau memperkecil) tanpa mengubah bentuk aslinya. Dilatasi ditentukan oleh dua komponen utama: titik pusat dilatasi dan faktor skala (\(k\)).

Karakteristik Berdasarkan Nilai Faktor Skala (\(k\))

  • \(|k| > 1\): Bangun diperbesar dan letaknya semakin jauh dari titik pusat.
  • \(1 < |k| < 1\) (Pecahan/Desimal): Bangun diperkecil dan letaknya semakin dekat dengan titik pusat.
  • \(k = 1\): Ukuran dan posisi bangun tetap (tidak mengalami perubahan).
  • \(k = -1\): Ukuran tetap, tetapi bangun berbalik arah (berputar \(180^\circ\) terhadap pusat).
  • \(k < 0\) (Negatif): Bangun mengalami perbalikan posisi (berlawanan sisi dengan titik pusat).
Visualisasi Geometris: Dilatasi Segitiga dengan Faktor Skala \(k = 2\)
Objek Asli Bayangan (k = 2) Pusat (0,0)

2. Rumus-Rumus Dilatasi pada Bidang Kartesius

Perhitungan koordinat bayangan titik \(P(x, y)\) melalui proses dilatasi dibedakan berdasarkan letak titik pusatnya:

Titik Pusat Dilatasi Faktor Skala Rumus Koordinat Bayangan \(P'(x', y')\)
Pusat \(O(0, 0)\) \(k\) \(x' = k \cdot x\)
\(y' = k \cdot y\)
Pusat Tertentu \(M(a, b)\) \(k\) \(x' = a + k(x - a)\)
\(y' = b + k(y - b)\)

3. Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Contoh Soal 1 (Dilatasi dengan Pusat di Titik Asal \(O(0, 0)\)):

Tentukan koordinat bayangan titik \(A(-3, 6)\) jika didilatasi terhadap titik pusat \(O(0, 0)\) dengan faktor skala \(k = -\frac{1}{3}\)!

Penyelesaian:

  • Langkah 1: Identifikasi rumus dilatasi pusat \(O(0,0)\)
    \(x' = k \cdot x\) dan \(y' = k \cdot y\)
  • Langkah 2: Substitusikan nilai koordinat dan faktor skala
    Diketahui \(x = -3\), \(y = 6\), dan \(k = -\frac{1}{3}\).
    \(x' = -\frac{1}{3} \cdot (-3) = 1\)
    \(y' = -\frac{1}{3} \cdot 6 = -2\)
  • Hasil Akhir: Koordinat bayangan titik \(A\) adalah \(A'(1, -2)\).

Contoh Soal 2 (Dilatasi dengan Pusat di Luar Titik Asal \(M(a, b)\)):

Tentukan koordinat bayangan titik \(B(4, -2)\) jika didilatasi terhadap pusat \(M(1, 2)\) dengan faktor skala \(k = 3\)!

Penyelesaian:

  • Langkah 1: Gunakan rumus dilatasi pusat \(M(a, b)\)
    \(x' = a + k(x - a)\)
    \(y' = b + k(y - b)\)
  • Langkah 2: Masukkan nilai yang diketahui
    Titik asal \((x, y) = (4, -2)\), pusat \((a, b) = (1, 2)\), dan \(k = 3\).
  • Langkah 3: Hitung komponen \(x'\) dan \(y'\)
    \(x' = 1 + 3(4 - 1) = 1 + 3(3) = 1 + 9 = 10\)
    \(y' = 2 + 3(-2 - 2) = 2 + 3(-4) = 2 - 12 = -10\)
  • Hasil Akhir: Koordinat bayangan titik \(B\) adalah \(B'(10, -10)\).

Contoh Soal 3 (Dilatasi pada Persamaan Garis Lurus):

Tentukan persamaan bayangan garis \(2x - 3y + 6 = 0\) apabila didilatasi dengan pusat \(O(0, 0)\) dan faktor skala \(k = 2\)!

Penyelesaian:

  • Langkah 1: Nyatakan hubungan variabel asal dan bayangan
    Karena pusatnya \(O(0, 0)\) dan \(k = 2\), maka:
    \(x' = 2x \implies x = \frac{x'}{2}\)
    \(y' = 2y \implies y = \frac{y'}{2}\)
  • Langkah 2: Substitusikan nilai \(x\) dan \(y\) ke persamaan garis awal
    Persamaan awal: \(2x - 3y + 6 = 0\)
    Substitusi bentuk pecahan: \[ 2\left(\frac{x'}{2}\right) - 3\left(\frac{y'}{2}\right) + 6 = 0 \]
  • Langkah 3: Sederhanakan persamaan
    \[ x' - \frac{3}{2}y' + 6 = 0 \] Agar tidak berbentuk pecahan, kalikan seluruh suku dengan \(2\): \[ 2x' - 3y' + 12 = 0 \]
  • Hasil Akhir: Persamaan bayangan garis tersebut adalah \(2x - 3y + 12 = 0\).