Matematika Tak Terbatas

Penyelesaian:
Rumus determinan matriks berordo \(2 \times 2\) adalah \(\det(A) = (ad - bc)\).
\(\det(A) = (3 \cdot 4) - (-1 \cdot 2)\)
\(\det(A) = 12 - (-2) = 12 + 2 = 14\)

Penyelesaian:
Jika \(P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), maka \(P^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).
Cari determinan: \((1 \cdot 5) - (2 \cdot 3) = 5 - 6 = -1\).
Maka:
\(P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\).

Penyelesaian:
\(2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}\)
\(2A + B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+1 & 6+(-2) \\ -2+3 & 8+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}\)

Penyelesaian:
\((2x^3 + x^3) + (-4x^2 + 3x^2) + (-2x) + (5 - 1)\)
\(= 3x^3 - x^2 - 2x + 4\)

Penyelesaian:
Uji nilai pembuat nol dari faktor konstanta 2 (yaitu \(\pm 1, \pm 2\)).
Coba \(x = 2\):
\(P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - (2) + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0\).
Karena \(P(2) = 0\), maka \((x - 2)\) adalah faktor dari \(P(x)\).

Penyelesaian:
Berdasarkan teorema sisa, sisa \(S = f(1)\).
\(f(1) = 2(1)^4 - 3(1)^3 + (1) - 5\)
\(f(1) = 2 - 3 + 1 - 5 = -5\)

Penyelesaian:
Syarat fungsi bentuk akar adalah ekspresi di dalam tanda akar harus bernilai lebih dari atau sama dengan nol (\(\ge 0\)).
\(x - 4 \ge 0 \rightarrow x \ge 4\)

Penyelesaian:
Substitusikan \(x = 2\) ke dalam fungsi:
\(f(2) = 2^{3(2) - 1} = 2^{6 - 1} = 2^5 = 32\)

Penyelesaian:
\(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\)

Penyelesaian:
\(2\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) dan \(3\vec{q} = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\)
\(2\vec{p} + 3\vec{q} = \begin{pmatrix} 4 + 12 \\ -2 + 6 \\ 6 + (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Penyelesaian:
Persamaan lingkaran berpusat di \((0,0)\) adalah \(x^2 + y^2 = r^2\).
Substitusikan titik \((-3, 4)\) untuk mencari \(r^2\):
\((-3)^2 + (4)^2 = r^2 \rightarrow 9 + 16 = r^2 \rightarrow r^2 = 25\).
Maka persamaannya: \(x^2 + y^2 = 25\).

Penyelesaian:
Rumus garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = r^2\) di titik \((x_1, y_1)\) adalah \(x_1x + y_1y = r^2\).
\(2x + 3y = 13\)

Penyelesaian:
Dari persamaan \(x^2 + y^2 = 49\), diketahui \(r^2 = 49\), sehingga jari-jari \(r = 7\).
Rumus luas lingkaran \(L = \pi r^2\).
\(L = \pi (7)^2 = 49\pi\).

Penyelesaian:
Rumus translasi: \((x', y') = (x + a, y + b)\)
\(x' = 2 + (-4) = -2\)
\(y' = -3 + 5 = 2\)
Bayangannya adalah \((-2, 2)\).

Penyelesaian:
Refleksi terhadap sumbu-X mengubah titik \((x, y)\) menjadi \((x, -y)\).
Maka \(B' = (-3, -5)\).

Penyelesaian:
Rumus rotasi \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat \((0,0)\) adalah \((x, y) \rightarrow (-y, x)\).
\(P' = (-2, 4)\).

Penyelesaian:
Substitusikan langsung nilai \(x = 3\) ke dalam fungsi:
\((3)^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2\)

Penyelesaian:
Jika disubstitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\). Lakukan pemfaktoran:
\(\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\)

Penyelesaian:
Gunakan sifat limit trigonometri \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}\):
\(\frac{6}{2} = 3\)

Penyelesaian:
Gunakan sifat dasar limit trigonometri \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}\):
\(\frac{4}{2} = 2\)