Translasi | Pergeseran
1. Konsep Dasar Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah salah satu jenis transformasi geometri isometri yang memindahkan setiap titik pada bidang datar sejauh dan arah tertentu berdasarkan komponen pergeseran (vektor translasi). Karena bersifat isometri, proses translasi tidak mengubah bentuk, ukuran, maupun orientasi objek geometri asli, melainkan hanya mengubah posisi koordinatnya pada bidang Kartesius.
Karakteristik Komponen Translasi \(T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)
- Komponen Horizontal (\(a\)): Menyatakan pergeseran sejajar sumbu-\(x\).
- Jika \(a > 0\) (positif), titik bergeser ke arah kanan.
- Jika \(a < 0\) (negatif), titik bergeser ke arah kiri.
- Komponen Vertikal (\(b\)): Menyatakan pergeseran sejajar sumbu-\(y\).
- Jika \(b > 0\) (positif), titik bergeser ke arah atas.
- Jika \(b < 0\) (negatif), titik bergeser ke arah bawah.
2. Rumus-Rumus Translasi pada Bidang Kartesius
Secara aljabar, proses translasi dapat dituliskan dalam bentuk persamaan linear maupun matriks:
A. Translasi Titik Tunggal
Jika titik \(P(x, y)\) ditranslasikan oleh komponen \(T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\), maka koordinat bayangan \(P'(x', y')\) dapat dihitung dengan:
B. Komposisi Dua Translasi Berurutan
Jika titik \(P(x, y)\) ditranslasikan berturut-turut oleh \(T_1 = \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix}\) dan dilanjutkan oleh \(T_2 = \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \end{pmatrix}\), maka translasi tunggal penggantinya adalah:
| Bentuk Objek | Persamaan Asal | Prosedur Menentukan Bayangan |
|---|---|---|
| Titik \(P\) | \((x, y)\) | \(x' = x + a\), \(y' = y + b\) |
| Garis / Kurva | \(f(x, y) = 0\) | Substitusikan \(x = x' - a\) dan \(y = y' - b\) ke dalam persamaan asal |
3. Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap
Contoh Soal 1 (Translasi Komposisi / Dua Pergeseran Berurutan):
Tentukan bayangan titik \(A(-4, 7)\) jika ditranslasikan berturut-turut oleh \(T_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}\) dan dilanjutkan dengan \(T_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}\)!
Penyelesaian:
- Langkah 1: Hitung total pergeseran (vektor gabungan \(T_{total}\))
\[ T_{total} = T_1 + T_2 = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + (-3) \\ -2 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] - Langkah 2: Hitung koordinat bayangan akhir titik \(A\)
Gunakan rumus \(x' = x + a\) dan \(y' = y + b\):
\(x' = -4 + 3 = -1\)
\(y' = 7 + 3 = 10\) - Hasil Akhir: Koordinat bayangan akhir titik \(A\) adalah \(A'(-1, 10)\).
Contoh Soal 2 (Menentukan Komponen Translasi \(T\)):
Bayangan titik \(B(2, -5)\) oleh translasi \(T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) adalah \(B'(-3, 1)\). Tentukan nilai \(a + b\)!
Penyelesaian:
- Langkah 1: Susun persamaan translasi berdasarkan koordinat
Diketahui \(x = 2\), \(y = -5\), \(x' = -3\), dan \(y' = 1\).
\(x' = x + a \implies -3 = 2 + a\)
\(y' = y + b \implies 1 = -5 + b\) - Langkah 2: Hitung nilai \(a\) dan \(b\)
\(a = -3 - 2 = -5\)
\(b = 1 - (-5) = 1 + 5 = 6\)
Sehingga komponen translasinya adalah \(T = \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix}\). - Langkah 3: Hitung nilai \(a + b\)
\(a + b = -5 + 6 = 1\) - Hasil Akhir: Nilai dari \(a + b\) adalah \(1\).
Contoh Soal 3 (Translasi pada Persamaan Kurva Parabola):
Tentukan persamaan bayangan dari kurva parabola \(y = x^2 - 3x + 2\) jika ditranslasikan oleh \(T = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)!
Penyelesaian:
- Langkah 1: Hubungkan variabel asal dan variabel bayangan
Dengan \(T = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\):
\(x' = x + 2 \implies x = x' - 2\)
\(y' = y - 1 \implies y = y' + 1\) - Langkah 2: Substitusikan nilai \(x\) dan \(y\) ke persamaan parabola asal
Persamaan asal: \(y = x^2 - 3x + 2\)
Substitusi variabel baru: \[ y' + 1 = (x' - 2)^2 - 3(x' - 2) + 2 \] - Langkah 3: Jabarkan dan sederhanakan bentuk aljabar
\[ y' + 1 = ((x')^2 - 4x' + 4) - (3x' - 6) + 2 \] \[ y' + 1 = (x')^2 - 4x' + 4 - 3x' + 6 + 2 \] \[ y' + 1 = (x')^2 - 7x' + 12 \] \[ y' = (x')^2 - 7x' + 12 - 1 \] \[ y' = (x')^2 - 7x' + 11 \] - Hasil Akhir: Persamaan bayangan parabola tersebut adalah \(y = x^2 - 7x + 11\).