PEMBAHASAN PAKET 1
Pembahasan Lengkap Ujian TKA Matematika Lanjutan Kelas XII
1. Nilai dari \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\tan 2x}\) adalah...
Pembahasan:
Berdasarkan sifat dasar limit trigonometri \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\tan bx} = \frac{a}{b}\):
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\tan 2x} = \frac{4}{2} = 2$$
Berdasarkan sifat dasar limit trigonometri \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\tan bx} = \frac{a}{b}\):
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\tan 2x} = \frac{4}{2} = 2$$
Jawaban: C. 2
2. Turunan pertama dari \(f(x) = \sin(3x - 2)\) adalah...
Pembahasan:
Gunakan aturan rantai (chain rule) untuk turunan fungsi trigonometri: f'(x) = \cos(u) \cdot u'.
* Misal \(u = 3x - 2\), maka \(u' = 3\).
* \(f'(x) = \cos(3x - 2) \cdot 3 = 3 \cos(3x - 2)\)
Gunakan aturan rantai (chain rule) untuk turunan fungsi trigonometri: f'(x) = \cos(u) \cdot u'.
* Misal \(u = 3x - 2\), maka \(u' = 3\).
* \(f'(x) = \cos(3x - 2) \cdot 3 = 3 \cos(3x - 2)\)
Jawaban: B. \(3 \cos(3x - 2)\)
3. Sisa pembagian suku banyak \(P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2\) oleh \((x - 2)\) adalah...
Pembahasan:
Gunakan teorema sisa. Jika \(P(x)\) dibagi \((x - k)\), maka sisanya adalah \(S = P(k)\).
* Pembagi \((x - 2) \rightarrow k = 2\).
* \(P(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 5(2) - 2\)
* \(P(2) = 8 - 4(4) + 10 - 2\)
* \(P(2) = 8 - 16 + 10 - 2 = 0\)
Gunakan teorema sisa. Jika \(P(x)\) dibagi \((x - k)\), maka sisanya adalah \(S = P(k)\).
* Pembagi \((x - 2) \rightarrow k = 2\).
* \(P(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 5(2) - 2\)
* \(P(2) = 8 - 4(4) + 10 - 2\)
* \(P(2) = 8 - 16 + 10 - 2 = 0\)
Jawaban: A. 0
4. Diketahui matriks \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\). Determinan dari matriks invers \(A^{-1}\) adalah...
Pembahasan:
Sifat determinan invers matriks menyatakan bahwa \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\).
* Cari determinan \(A\):
\(\det(A) = (2 \cdot 3) - (1 \cdot 5) = 6 - 5 = 1\)
* Cari determinan inversnya:
\(\det(A^{-1}) = \frac{1}{1} = 1\)
Sifat determinan invers matriks menyatakan bahwa \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\).
* Cari determinan \(A\):
\(\det(A) = (2 \cdot 3) - (1 \cdot 5) = 6 - 5 = 1\)
* Cari determinan inversnya:
\(\det(A^{-1}) = \frac{1}{1} = 1\)
Jawaban: B. \(1\)
5. Diketahui vektor \(\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}\) dan \(\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\). Nilai perkalian titik (dot product) \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) adalah...
Pembahasan:
Kalikan komponen-komponen yang seletak:
* \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1 \cdot b_1) + (a_2 \cdot b_2) + (a_3 \cdot b_3)\)
* \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-1)\)
* \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 2 - 3 = -3\)
Kalikan komponen-komponen yang seletak:
* \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1 \cdot b_1) + (a_2 \cdot b_2) + (a_3 \cdot b_3)\)
* \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-1)\)
* \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 2 - 3 = -3\)
Jawaban: A. \(-3\)
6. Titik \(A(3, -5)\) direfleksikan terhadap garis \(y = -x\), kemudian dilanjutkan rotasi \(90^\circ\) dengan pusat \((0,0)\). Koordinat bayangan akhirnya adalah...
Pembahasan:
1. Refleksi terhadap garis \(y = -x\):
Rumus: \((x, y) \rightarrow (-y, -x)\)
Titik \(A(3, -5) \rightarrow A'(-(-5), -3) = A'(5, -3)\)
2. Rotasi \(90^\circ\) dengan pusat \((0,0)\):
Rumus rotasi standard melawan arah jarum jam: \((x, y) \rightarrow (-y, x)\)
Titik \(A'(5, -3) \rightarrow (-(-3), 5) = (3, 5)\)
1. Refleksi terhadap garis \(y = -x\):
Rumus: \((x, y) \rightarrow (-y, -x)\)
Titik \(A(3, -5) \rightarrow A'(-(-5), -3) = A'(5, -3)\)
2. Rotasi \(90^\circ\) dengan pusat \((0,0)\):
Rumus rotasi standard melawan arah jarum jam: \((x, y) \rightarrow (-y, x)\)
Titik \(A'(5, -3) \rightarrow (-(-3), 5) = (3, 5)\)
Jawaban: A. \((3, 5)\)
7. Jumlah tak hingga dari deret geometri \(12 + 6 + 3 + \frac{3}{2} + \dots\) adalah...
Pembahasan:
Rumus jumlah deret geometri tak hingga: \(S_\infty = \frac{a}{1 - r}\)
* Suku pertama (\(a\)) = \(12\)
* Rasio (\(r\)) = \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
* \(S_\infty = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 12 \times 2 = 24\)
Rumus jumlah deret geometri tak hingga: \(S_\infty = \frac{a}{1 - r}\)
* Suku pertama (\(a\)) = \(12\)
* Rasio (\(r\)) = \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
* \(S_\infty = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 12 \times 2 = 24\)
Jawaban: B. 24
8. Sebuah dadu dilempar sebanyak 4 kali. Peluang muncul angka 5 tepat sebanyak 2 kali adalah...
Pembahasan:
Gunakan rumus peluang binomial \(P(X = x) = C(n, x) \cdot p^x \cdot q^{n-x}\):
* Banyak percobaan (\(n\)) = \(4\)
* Banyak sukses (\(x\)) = \(2\)
* Peluang muncul angka 5 dalam satu lemparan (\(p\)) = \(\frac{1}{6}\)
* Peluang gagal (\(q\)) = \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
Hitung nilai peluangnya:
$$P(X = 2) = C(4, 2) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$$ $$P(X = 2) = 6 \cdot \left(\frac{1}{36}\right) \cdot \left(\frac{25}{36}\right) = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$$
Gunakan rumus peluang binomial \(P(X = x) = C(n, x) \cdot p^x \cdot q^{n-x}\):
* Banyak percobaan (\(n\)) = \(4\)
* Banyak sukses (\(x\)) = \(2\)
* Peluang muncul angka 5 dalam satu lemparan (\(p\)) = \(\frac{1}{6}\)
* Peluang gagal (\(q\)) = \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
Hitung nilai peluangnya:
$$P(X = 2) = C(4, 2) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$$ $$P(X = 2) = 6 \cdot \left(\frac{1}{36}\right) \cdot \left(\frac{25}{36}\right) = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$$
Jawaban: A. \(\frac{25}{216}\)
9. Nilai dari integral tentu \(\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx\) adalah...
Pembahasan:
1. Cari integral tak tentu dari fungsi:
$$\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x$$ 2. Substitusikan batas atas (\(2\)) dan batas bawah (\(0\)):
$$\left[ x^3 - x^2 + x \right]_{0}^{2} = (2^3 - 2^2 + 2) - (0^3 - 0^2 + 0)$$ $$= (8 - 4 + 2) - 0 = 6$$
1. Cari integral tak tentu dari fungsi:
$$\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x$$ 2. Substitusikan batas atas (\(2\)) dan batas bawah (\(0\)):
$$\left[ x^3 - x^2 + x \right]_{0}^{2} = (2^3 - 2^2 + 2) - (0^3 - 0^2 + 0)$$ $$= (8 - 4 + 2) - 0 = 6$$
Jawaban: B. 6
10. Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 25\) di titik \((3, -4)\) adalah...
Pembahasan:
Persamaan garis singgung pada lingkaran \(x^2 + y^2 = r^2\) melalui titik \((x_1, y_1)\) dirumuskan dengan \(x_1 x + y_1 y = r^2\).
Substitusikan titik \((3, -4)\) dan \(r^2 = 25\):
$$3x + (-4)y = 25 \implies 3x - 4y = 25$$
Persamaan garis singgung pada lingkaran \(x^2 + y^2 = r^2\) melalui titik \((x_1, y_1)\) dirumuskan dengan \(x_1 x + y_1 y = r^2\).
Substitusikan titik \((3, -4)\) dan \(r^2 = 25\):
$$3x + (-4)y = 25 \implies 3x - 4y = 25$$
Jawaban: A. \(3x - 4y = 25\)