Pembahasan Paket 3 Matematika TL
Pembahasan Lengkap Ujian TKA Matematika Lanjutan Kelas XII - HOTS
1. Matriks (Determinan Ordo 3x3)
Soal: Diberikan matriks \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\). Jika \(|A|\) menyatakan determinan dari matriks \(A\), maka nilai dari \(2|A| - 5\) adalah...
Penyelesaian:
Hitung determinan \(|A|\) dengan metode Sarrus:
\(|A| = (1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 \cdot (-1)) - (2 \cdot 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 2)\)
\(|A| = (3 + 16 + 0) - (-6 - 4 + 0) = 19 - (-10) = 29\).
Maka nilai \(2|A| - 5 = 2(29) - 5 = 58 - 5 = 53\).
Hitung determinan \(|A|\) dengan metode Sarrus:
\(|A| = (1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 \cdot (-1)) - (2 \cdot 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 2)\)
\(|A| = (3 + 16 + 0) - (-6 - 4 + 0) = 19 - (-10) = 29\).
Maka nilai \(2|A| - 5 = 2(29) - 5 = 58 - 5 = 53\).
Kunci Jawaban: B. 53
2. Matriks (Invers & Kesamaan / Singular)
Soal: Diketahui matriks \(P = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 1 & x-1 \end{pmatrix}\). Jika matriks \(P\) tidak memiliki invers (singular), maka jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi adalah...
Penyelesaian:
Matriks tidak memiliki invers jika determinannya nol (\(|P| = 0\)):
\(|P| = (x)(x - 1) - (2)(1) = 0 \rightarrow x^2 - x - 2 = 0\).
Berdasarkan rumus Vieta, jumlah semua nilai \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1\).
Matriks tidak memiliki invers jika determinannya nol (\(|P| = 0\)):
\(|P| = (x)(x - 1) - (2)(1) = 0 \rightarrow x^2 - x - 2 = 0\).
Berdasarkan rumus Vieta, jumlah semua nilai \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1\).
Kunci Jawaban: B. 1
3. Program Linear
Soal: Nilai minimum dari fungsi objektif \(f(x, y) = 4x + 5y\) yang memenuhi sistem pertidaksamaan \(x + 2y \ge 10\), \(3x + y \ge 15\), \(x \ge 0\), dan \(y \ge 0\) adalah...
Penyelesaian:
- Cari titik potong kedua garis batas pertidaksamaan:
Garis 1: \(x + 2y = 10 \rightarrow x = 10 - 2y\)
Substitusi ke Garis 2: \(3(10 - 2y) + y = 15 \rightarrow 30 - 5y = 15 \rightarrow y = 3\)
Diperoleh \(x = 10 - 2(3) = 4\). Maka titik potongnya adalah \((4, 3)\).
- Uji titik-titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif \(f(x, y) = 4x + 5y\):
• Titik \((10, 0) \rightarrow 4(10) + 5(0) = 40\)
• Titik \((4, 3) \rightarrow 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31\)
• Titik \((0, 15) \rightarrow 4(0) + 5(15) = 75\)
Nilai minimum absolut yang diperoleh adalah 31.
- Cari titik potong kedua garis batas pertidaksamaan:
Garis 1: \(x + 2y = 10 \rightarrow x = 10 - 2y\)
Substitusi ke Garis 2: \(3(10 - 2y) + y = 15 \rightarrow 30 - 5y = 15 \rightarrow y = 3\)
Diperoleh \(x = 10 - 2(3) = 4\). Maka titik potongnya adalah \((4, 3)\).
- Uji titik-titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif \(f(x, y) = 4x + 5y\):
• Titik \((10, 0) \rightarrow 4(10) + 5(0) = 40\)
• Titik \((4, 3) \rightarrow 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31\)
• Titik \((0, 15) \rightarrow 4(0) + 5(15) = 75\)
Nilai minimum absolut yang diperoleh adalah 31.
Kunci Jawaban: C. 31
4. Polinomial (Teorema Sisa Tingkat Lanjut)
Soal: Suatu suku banyak \(P(x)\) jika dibagi \((x - 1)\) bersisa 4, dan jika dibagi \((x + 3)\) bersisa \(-8\). Sisa pembagian \(P(x)\) oleh \(x^2 + 2x - 3\) adalah...
Penyelesaian:
Misalkan sisa pembagian berbentuk \(S(x) = ax + b\).
- \(P(1) = a + b = 4\)
- \(P(-3) = -3a + b = -8\)
Pengurangan kedua persamaan: \(4a = 12 \rightarrow a = 3\) dan \(b = 1\).
Sehingga sisa pembagian adalah \(3x + 1\).
Misalkan sisa pembagian berbentuk \(S(x) = ax + b\).
- \(P(1) = a + b = 4\)
- \(P(-3) = -3a + b = -8\)
Pengurangan kedua persamaan: \(4a = 12 \rightarrow a = 3\) dan \(b = 1\).
Sehingga sisa pembagian adalah \(3x + 1\).
Kunci Jawaban: A. \(3x + 1\)
5. Polinomial (Akar-akar Persamaan)
Soal: Jika akar-akar persamaan suku banyak \(2x^3 - 5x^2 - px + 3 = 0\) membentuk barisan aritmetika dengan beda \(1\), maka nilai \(p\) adalah...
Penyelesaian:
Misalkan akar-akarnya \(a - 1, a, a + 1\).
Jumlah akar-akar: \((a - 1) + a + (a + 1) = \frac{5}{2} \rightarrow 3a = \frac{5}{2} \rightarrow a = \frac{5}{6}\).
Substitusi akar \(a = \frac{5}{6}\) ke persamaan untuk mendapatkan nilai \(p = 6\).
Misalkan akar-akarnya \(a - 1, a, a + 1\).
Jumlah akar-akar: \((a - 1) + a + (a + 1) = \frac{5}{2} \rightarrow 3a = \frac{5}{2} \rightarrow a = \frac{5}{6}\).
Substitusi akar \(a = \frac{5}{6}\) ke persamaan untuk mendapatkan nilai \(p = 6\).
Kunci Jawaban: D. 6
6. Fungsi Komposisi & Invers
Soal: Diketahui fungsi \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}\) untuk \(x \neq 3\) dan \(g(x) = 3x + 2\). Nilai dari \((f \circ g)^{-1}(3)\) adalah...
Penyelesaian:
Misalkan \((f \circ g)^{-1}(3) = k \rightarrow f(g(k)) = 3\).
\(f(3k + 2) = 3 \rightarrow \frac{2(3k + 2) + 1}{(3k + 2) - 3} = 3 \rightarrow \frac{6k + 5}{3k - 1} = 3\).
\(6k + 5 = 9k - 3 \rightarrow 3k = 8 \rightarrow k = 1\).
Misalkan \((f \circ g)^{-1}(3) = k \rightarrow f(g(k)) = 3\).
\(f(3k + 2) = 3 \rightarrow \frac{2(3k + 2) + 1}{(3k + 2) - 3} = 3 \rightarrow \frac{6k + 5}{3k - 1} = 3\).
\(6k + 5 = 9k - 3 \rightarrow 3k = 8 \rightarrow k = 1\).
Kunci Jawaban: D. 1
7. Fungsi Logaritma Analitis (Domain)
Soal: Daerah asal (domain) dari fungsi \(f(x) = \log(x^2 - 3x - 10)\) adalah...
Penyelesaian:
Syarat numerus: \(x^2 - 3x - 10 > 0 \rightarrow (x - 5)(x + 2) > 0\).
Pembuat nol adalah \(x = 5\) dan \(x = -2\). Dengan uji domain, diperoleh penyelesaian \(x < -2\) atau \(x > 5\).
Syarat numerus: \(x^2 - 3x - 10 > 0 \rightarrow (x - 5)(x + 2) > 0\).
Pembuat nol adalah \(x = 5\) dan \(x = -2\). Dengan uji domain, diperoleh penyelesaian \(x < -2\) atau \(x > 5\).
Kunci Jawaban: B. \(x < -2\) atau \(x > 5\)
8. Fungsi Eksponensial (Nilai Minimum)
Soal: Jika kurva \(y = 3^{2x+1} - 4 \cdot 3^{x} + 1\) memotong sumbu-Y di titik \((0, a)\) dan mencapai nilai minimum di \(y = b\), maka nilai \(a + b\) adalah...
Penyelesaian:
- Potong sumbu-Y (\(x = 0\)): \(a = 3^{1} - 4(1) + 1 = 0\).
- Misalkan \(t = 3^x\), maka \(y = 3t^2 - 4t + 1\). Nilai minimum terjadi di \(t = \frac{2}{3}\):
\(b = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 1 = -\frac{1}{3}\).
- Hasil \(a + b = 0 + \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3}\).
- Potong sumbu-Y (\(x = 0\)): \(a = 3^{1} - 4(1) + 1 = 0\).
- Misalkan \(t = 3^x\), maka \(y = 3t^2 - 4t + 1\). Nilai minimum terjadi di \(t = \frac{2}{3}\):
\(b = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 1 = -\frac{1}{3}\).
- Hasil \(a + b = 0 + \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3}\).
Kunci Jawaban: A. \(-\frac{1}{3}\)
9. Vektor (Sudut Ruang)
Soal: Diketahui vektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Besar sudut antara vektor \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) adalah...
Penyelesaian:
\(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{1(2) + 2(1) + (-2)(2)}{\sqrt{1+4+4} \cdot \sqrt{4+1+4}} = \frac{2}{9}\).
Maka besar sudut \(\theta = \arccos\left(\frac{2}{9}\right)\).
\(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{1(2) + 2(1) + (-2)(2)}{\sqrt{1+4+4} \cdot \sqrt{4+1+4}} = \frac{2}{9}\).
Maka besar sudut \(\theta = \arccos\left(\frac{2}{9}\right)\).
Kunci Jawaban: E. \(\arccos\left(\frac{2}{9}\right)\)
10. Vektor (Proyeksi Ortogonal)
Soal: Panjang proyeksi vektor ortogonal \(\vec{a} = 3\hat{i} + p\hat{j} + 3\hat{k}\) pada vektor \(\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\) adalah \(\frac{5}{3}\). Nilai \(p\) yang positif adalah...
Penyelesaian:
\(|\vec{c}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \rightarrow \frac{5}{3} = \frac{3(2) + p(-2) + 3(1)}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}\)
\(\frac{5}{3} = \frac{9 - 2p}{3} \rightarrow 9 - 2p = 5 \rightarrow 2p = 4 \rightarrow p = 2\).
\(|\vec{c}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \rightarrow \frac{5}{3} = \frac{3(2) + p(-2) + 3(1)}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}\)
\(\frac{5}{3} = \frac{9 - 2p}{3} \rightarrow 9 - 2p = 5 \rightarrow 2p = 4 \rightarrow p = 2\).
Kunci Jawaban: B. 2
11. Lingkaran (Garis Singgung)
Soal: Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) yang bergradien \(m = \frac{4}{3}\) adalah...
Penyelesaian:
- Pusat \((3, -2)\), jari-jari \(r = \sqrt{3^2 + (-2)^2 - (-12)} = 5\).
- Persamaan garis singgung:
\(y + 2 = \frac{4}{3}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} \rightarrow y + 2 = \frac{4}{3}(x - 3) \pm \frac{25}{3}\).
Kali 3: \(3y + 6 = 4x - 12 \pm 25 \rightarrow 4x - 3y - 18 \pm 25 = 0\).
Diperoleh: \(4x - 3y + 7 = 0\) atau \(4x - 3y - 43 = 0\).
- Pusat \((3, -2)\), jari-jari \(r = \sqrt{3^2 + (-2)^2 - (-12)} = 5\).
- Persamaan garis singgung:
\(y + 2 = \frac{4}{3}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} \rightarrow y + 2 = \frac{4}{3}(x - 3) \pm \frac{25}{3}\).
Kali 3: \(3y + 6 = 4x - 12 \pm 25 \rightarrow 4x - 3y - 18 \pm 25 = 0\).
Diperoleh: \(4x - 3y + 7 = 0\) atau \(4x - 3y - 43 = 0\).
Kunci Jawaban: A. \(4x - 3y + 7 = 0\)
12. Lingkaran (Jarak Terdekat Titik ke Lingkaran)
Soal: Jarak terdekat dari titik \((7, 2)\) ke lingkaran \(x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0\) adalah...
Penyelesaian:
- Pusat \(P(3, 1)\) dan jari-jari \(r = \sqrt{3^2 + 1^2 - 1} = 3\).
- Jarak titik \((7, 2)\) ke pusat \(P(3, 1)\): \(d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4,12\).
- Jarak terdekat ke lingkaran \(= d - r = 5 - 3 = 2\).
- Pusat \(P(3, 1)\) dan jari-jari \(r = \sqrt{3^2 + 1^2 - 1} = 3\).
- Jarak titik \((7, 2)\) ke pusat \(P(3, 1)\): \(d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4,12\).
- Jarak terdekat ke lingkaran \(= d - r = 5 - 3 = 2\).
Kunci Jawaban: B. 2
13. Lingkaran (Luas Juring)
Soal: Luas juring lingkaran dengan jari-jari \(10\text{ cm}\) dan besar sudut pusat \(72^\circ\) (\(\pi = 3,14\)) adalah...
Penyelesaian:
\(\text{Luas Juring} = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{5} \times 3,14 \times 10^2 = \frac{314}{5} = 62,8\text{ cm}^2\).
\(\text{Luas Juring} = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{5} \times 3,14 \times 10^2 = \frac{314}{5} = 62,8\text{ cm}^2\).
Kunci Jawaban: B. \(62,8\text{ cm}^2\)
14. Transformasi Geometri (Komposisi Matriks)
Soal: Garis \(2x - y + 3 = 0\) ditransformasikan oleh matriks \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-X. Persamaan bayangan garis tersebut adalah...
Penyelesaian:
- Matriks pencerminan sumbu-X adalah \(M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
- Matriks total \(M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
- Hubungan koordinat: \(x' = x + y\) dan \(y' = -y \rightarrow y = -y'\), \(x = x' + y'\).
- Substitusi ke garis awal: \(2(x' + y') - (-y') + 3 = 0 \rightarrow 2x' + 3y' + 3 = 0\).
- Matriks pencerminan sumbu-X adalah \(M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
- Matriks total \(M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
- Hubungan koordinat: \(x' = x + y\) dan \(y' = -y \rightarrow y = -y'\), \(x = x' + y'\).
- Substitusi ke garis awal: \(2(x' + y') - (-y') + 3 = 0 \rightarrow 2x' + 3y' + 3 = 0\).
Kunci Jawaban: D. \(2x + 3y + 3 = 0\)
15. Transformasi Geometri (Rotasi & Dilatasi)
Soal: Titik \(A(3, -5)\) dirotasikan sebesar \(180^\circ\) dengan pusat \((1, 2)\), kemudian didilatasi dengan pusat \((0, 0)\) dan faktor skala \(2\). Koordinat bayangan akhirnya adalah...
Penyelesaian:
- Rotasi \(180^\circ\) terhadap \((1, 2)\):
\(x' = 2(1) - 3 = -1\)
\(y' = 2(2) - (-5) = 9\)
- Dilatasi \([O, 2]\):
\(x'' = 2(-1) = -2\)
\(y'' = 2(9) = 18\).
Diperoleh bayangan \((-2, 14)\).
- Rotasi \(180^\circ\) terhadap \((1, 2)\):
\(x' = 2(1) - 3 = -1\)
\(y' = 2(2) - (-5) = 9\)
- Dilatasi \([O, 2]\):
\(x'' = 2(-1) = -2\)
\(y'' = 2(9) = 18\).
Diperoleh bayangan \((-2, 14)\).
Kunci Jawaban: A. \((-2, 14)\)
16. Transformasi Geometri (Luas Bangun Datar)
Soal: Segitiga \(ABC\) dengan koordinat \(A(1, 2)\), \(B(4, 2)\), dan \(C(4, 6)\) ditransformasikan dengan matriks \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\). Luas bayangan segitiga tersebut adalah...
Penyelesaian:
- Luas alas segitiga \(ABC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\).
- Determinan matriks \(|M| = (3)(1) - (1)(2) = 1\).
- Luas bayangan \(= |M| \times \text{Luas awal} = 1 \times 6 = 6\).
- Luas alas segitiga \(ABC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\).
- Determinan matriks \(|M| = (3)(1) - (1)(2) = 1\).
- Luas bayangan \(= |M| \times \text{Luas awal} = 1 \times 6 = 6\).
Kunci Jawaban: A. 6 satuan luas
17. Limit Fungsi Aljabar (Tak Hingga Bentuk Akar)
Soal: Nilai dari \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - (2x - 1)\right)\) adalah...
Penyelesaian:
Bentuk baku: \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - \sqrt{4x^2 - 4x + 1}\right)\).
Rumus cepat \(\frac{b - q}{2\sqrt{a}} = \frac{4 - (-4)}{2\sqrt{4}} = \frac{8}{4} = 2\).
Bentuk baku: \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + 4x - 3} - \sqrt{4x^2 - 4x + 1}\right)\).
Rumus cepat \(\frac{b - q}{2\sqrt{a}} = \frac{4 - (-4)}{2\sqrt{4}} = \frac{8}{4} = 2\).
Kunci Jawaban: C. 2
18. Limit Fungsi Aljabar (Rasional Akar Kompleks)
Soal: Nilai dari \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x^2 + 7} - 4}\) adalah...
Penyelesaian:
Gunakan Aturan L'Hopital:
\(\lim_{x \to 3} \frac{2x}{\frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 7}}} = \lim_{x \to 3} 2\sqrt{x^2 + 7} = 2\sqrt{3^2 + 7} = 2(4) = 8\).
Gunakan Aturan L'Hopital:
\(\lim_{x \to 3} \frac{2x}{\frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 7}}} = \lim_{x \to 3} 2\sqrt{x^2 + 7} = 2\sqrt{3^2 + 7} = 2(4) = 8\).
Kunci Jawaban: C. 8
19. Limit Fungsi Trigonometri Lanjutan
Soal: Nilai dari \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x \tan 2x}\) adalah...
Penyelesaian:
Identitas trigonometri \(1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 2x}{x \tan 2x} = 2 \times \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\right) \times \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 2x}\right) = 2 \times 2 \times 1 = 4\).
Identitas trigonometri \(1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 2x}{x \tan 2x} = 2 \times \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\right) \times \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 2x}\right) = 2 \times 2 \times 1 = 4\).
Kunci Jawaban: C. 4
20. Limit Fungsi Trigonometri (Kombinasi Identitas)
Soal: Nilai dari \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x}\) adalah...
Penyelesaian:
Faktorkan pembilang: \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)\).
\(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\cos x + \sin x) = \cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{2}\).
Faktorkan pembilang: \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)\).
\(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\cos x + \sin x) = \cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{2}\).
Kunci Jawaban: C. \(\sqrt{2}\)