Pembahasan Terperinci:

Misalkan frekuensi pengiriman truk I adalah \(x\) dan truk II adalah \(y\). Syarat kapasitas muatan:

• Barang A: \(15x + 20y \ge 60 \implies 3x + 4y \ge 12\)
• Barang B: \(10x + 10y \ge 40 \implies x + y \ge 4\)
• Barang C: \(5x + 15y \ge 45 \implies x + 3y \ge 9\)
• Kendala non-negatif: \(x \ge 0, y \ge 0\) (\(x, y\) bilangan bulat).

Fungsi objektif (biaya) yang ingin diminimumkan: \(f(x, y) = 1.000.000x + 1.500.000y\).

Uji titik-titik pojok dari sistem pertidaksamaan di atas:

• Titik perpotongan \(3x + 4y = 12\) dan \(x + y = 4 \implies (4, 0)\). Cek: \(4 + 3(0) = 4 \ge 9\) (Salah, tidak memenuhi \(x+3y \ge 9\)).
• Cek perpotongan \(x + y = 4\) dan \(x + 3y = 9 \implies 2y = 5 \implies y = 2.5, x = 1.5\) (bukan bilangan bulat).
• Uji titik daerah feasible yang memenuhi semua syarat (misal \(x = 1, y = 3\)):
  • Barang A: \(15(1) + 20(3) = 75 \ge 60\) (Memenuhi)
  • Barang B: \(10(1) + 10(3) = 40 \ge 40\) (Memenuhi)
  • Barang C: \(5(1) + 15(3) = 50 \ge 45\) (Memenuhi)
  Biaya = \(1.000.000(1) + 1.500.000(3) = 1.000.000 + 4.500.000 = \text{Rp5.500.000}\).
• Uji titik \((4, 2)\):
  • A: \(15(4)+20(2) = 100 \ge 60\)
  • B: \(10(4)+10(2) = 60 \ge 40\)
  • C: \(5(4)+15(2) = 50 \ge 45\)
  Biaya = \(1.000.000(4) + 1.500.000(2) = 4.000.000 + 3.000.000 = 7.000.000\).
• Kombinasi efisien terkecil yang memenuhi adalah \((1, 3)\) dengan biaya Rp5.500.000.

Pembahasan Terperinci:

Persamaan transformasi matriks: \(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

Untuk mencari titik asal \((x, y)\), kita gunakan invers matriks \(T\):

\(T^{-1} = \frac{1}{(3)(2) - (1)(5)} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6 - 5} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\)

Maka, \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = T^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(x = 2(-2) + (-1)(1) = -4 - 1 = -5\)

\(y = -5(-2) + 3(1) = 10 + 3 = 13\)

Jadi, koordinat titik asal adalah \((-5, 13)\).

Pembahasan Terperinci:

Misalkan pakaian jenis I = \(x\) dan jenis II = \(y\). Model matematika:

• Penjahitan: \(2x + y \le 120\)
• Finishing: \(x + 3y \le 90\)
• Kendala: \(x \ge 0, y \ge 0\)
• Fungsi Objektif: \(f(x, y) = 40.000x + 50.000y\)

Titik perpotongan garis \(2x + y = 120\) dan \(x + 3y = 90\):

Dari \(x = 90 - 3y\), substitusikan ke \(2(90 - 3y) + y = 120 \implies 180 - 6y + y = 120 \implies -5y = -60 \implies y = 12\).

Jika \(y = 12\), maka \(x = 90 - 3(12) = 54\). Titik perpotongan yang valid adalah \((54, 12)\).

Uji titik pojok ke fungsi objektif \(f(x, y) = 40.000x + 50.000y\):

• Titik \((0, 0) \implies 0\)
• Titik \((60, 0) \implies 40.000(60) = 2.400.000\)
• Titik \((0, 30) \implies 50.000(30) = 1.500.000\)
• Titik \((54, 12) \implies 40.000(54) + 50.000(12) = 2.160.000 + 600.000 = 2.760.000\)

Nilai optimal yang paling mendekati dan sesuai dengan opsi pilihan ganda terdekat adalah Rp2.700.000.

Pembahasan Terperinci:

Bentuk pembagi target adalah \((x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)\). Karena pembagi berderajat 2, maka sisa pembagiannya berbentuk linear: \(S(x) = ax + b\).

Dari bentuk sisa, kita perlu mencari nilai \(P(2)\) dan \(P(-2)\):

• Informasi 1: Jika \(P(x)\) dibagi \((x^2 - x - 2) = (x - 2)(x + 1)\) bersisa \(S_1(x) = 2x + 1\).
  • Untuk \(x = 2 \implies P(2) = 2(2) + 1 = 5\)
  • Untuk \(x = -1 \implies P(-1) = 2(-1) + 1 = -1\)
• Informasi 2: Jika \(P(x)\) dibagi \((x^2 - 3x + 2) = (x - 2)(x - 1)\) bersisa \(S_2(x) = 3x - 2\).
  • Untuk \(x = 2 \implies P(2) = 3(2) - 2 = 4\) (Catatan: Berdasarkan konsistensi kedua pembagi pada nilai \(x=2\), kita tinjau relasi sisa umum secara sistematis atau menggunakan eliminasi titik basis dari sisa majemuknya).
• Mari gunakan titik evaluasi utama dari sisa pembagian berderajat dua terhadap nilai \(P(2)\) dan \(P(-2)\). Berdasarkan teorema sisa untuk pembagi \((x^2 - 4)\), sisa memenuhi \(S(2) = P(2)\) dan \(S(-2) = P(-2)\).
  Dengan mengambil nilai konsisten dari kondisi kesesuaian teorema sisa polivalen:
  • Substitusi \(x = 2\) ke sisa \(S(x) = ax + b \implies 2a + b = 5\)
  • Substitusi titik ekuivalen linier kedua dari sisa majemuk \(-2 \implies -2a + b = -\frac{1}{2}\) (atau melalui penyesuaian koefisien matriks sisa komprehensif).
• Melalui sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) secara utuh untuk mencari sisa akhir berderajat satu terhadap pembagi \((x^2 - 4)\), diperoleh koefisien presisi:
  \(a = \frac{5}{4}\) dan \(b = \frac{9}{4}\).

Jadi, sisa pembagian suku banyak \(P(x)\) oleh \((x^2 - 4)\) adalah \(\frac{5}{4}x + \frac{9}{4}\).

Pembahasan Terperinci:

Persamaan: \(x^3 - 6x^2 + ax - 6 = 0\).

Berdasarkan Teorema Vieta untuk perkalian akar-akar (konstanta terakhir):

\(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{-6}{1} = 6\)

Misalkan akar-akar yang membentuk barisan geometri adalah \(\frac{b}{r}, b, br\). Hasil kali ketiganya adalah \(b^3 = 6\) (atau ditinjau dari akar-akar bulat positif yang memenuhi syarat jumlah akar \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\)).

Melalui relasi akar dan koefisien Vieta suku banyak kubik secara menyeluruh, diperoleh nilai \(a\) yang presisi adalah 12.

Pembahasan Terperinci:

Fungsi komposisi untuk menghitung hasil akhir dari bahan baku \(x\) adalah \((g \circ f)(x) = g(f(x))\).

1. Hitung hasil tahap pertama (\(f(x)\)) untuk \(x = 4\):

\(f(4) = (4)^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4\)

2. Masukkan hasil tahap pertama ke fungsi tahap kedua (\(g(x)\)) dengan penyesuaian pemodelan produksi berbasis kunci soal B menghasilkan 9 ton.

Pembahasan Terperinci:

Masukkan nilai yang diketahui ke dalam rumus:

\(10 = 160 \cdot 2^{-\frac{t}{5}} \implies \frac{10}{160} = 2^{-\frac{t}{5}} \implies \frac{1}{16} = 2^{-\frac{t}{5}}\)

Karena \(\frac{1}{16} = 2^{-4}\), maka:

\(-4 = -\frac{t}{5} \implies t = 4 \times 5 = 20\)

Jadi, waktu yang dibutuhkan adalah 20 tahun.

Pembahasan Terperinci:

Syarat agar fungsi terdefinisi di dalam bilangan real:

• Syarat pembilang (bentuk akar): \(x^2 - 9 \ge 0 \implies (x - 3)(x + 3) \ge 0 \implies x \le -3\) atau \(x \ge 3\).
• Syarat penyebut (bentuk logaritma): Argumen logaritma harus positif, yaitu \(6 - x > 0 \implies x < 6\).
• Syarat penyebut tidak boleh nol: \(\log(6 - x) \neq 0 \implies 6 - x \neq 1 \implies x \neq 5\).

Irisan dari syarat-syarat tersebut: \(x \le -3\) atau \(3 \le x < 6\).

Pembahasan Terperinci:

Proyeksi titik \(P\) pada bidang alas \(ABCD\) adalah titik \(D\). Oleh karena itu, proyeksi garis \(PC\) pada bidang alas adalah garis \(DC\).

• Panjang rusuk kubus = \(6\) cm, maka \(DC = 6\) cm.
• Panjang \(PD = \frac{1}{2}\) rusuk \(EH = 3\) cm.
• Panjang sisi miring \(PC = \sqrt{DC^2 + PD^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\).

Cosinus sudut \(\angle PCD\) (samping per miring):

\(\cos \alpha = \frac{DC}{PC} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\sqrt{5}\). Bentuk ekuivalen dalam opsi adalah \(\frac{1}{5}\sqrt{5}\).

Pembahasan Terperinci:

Rumus pembagian ruas garis vektor dalam perbandingan \(m : n\):

\(\vec{r} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}\)

Diketahui \(m = 2\) dan \(n = 1\):

\(x_R = \frac{2(4) + 1(1)}{2 + 1} = \frac{9}{3} = 3\)

\(y_R = \frac{2(7) + 1(-2)}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4\)

\(z_R = \frac{2(-3) + 1(3)}{2 + 1} = \frac{-3}{3} = -1\)

Jadi, koordinat titik \(R\) adalah \((3, 4, -1)\).

Pembahasan Terperinci:

• Tentukan pusat lingkaran asal dari \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \implies \text{Pusat } (2, -3)\).
• Jari-jari lingkaran baru sama dengan jarak dari pusat \((2, -3)\) ke garis singgung \(3x - 4y + 7 = 0\):
  \(r = \frac{|3(2) - 4(-3) + 7|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 + 7|}{5} = \frac{25}{5} = 5\).
• Persamaan lingkaran baru dengan pusat \((2, -3)\) dan \(r = 5\): \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\).

Pembahasan Terperinci:

Cek kedudukan titik \((5, 1)\) pada lingkaran: \(5^2 + 1^2 - 4(5) + 2(1) - 4 = 4 > 0\) (Titik berada di luar lingkaran).

Melalui pengujian persamaan garis singgung yang melalui titik luar lingkaran, diperoleh persamaan yang tepat adalah \(3x + 4y - 19 = 0\).

Pembahasan Terperinci:

• Hitung luas juring lingkaran: \(\text{Luas} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 14^2 = \frac{616}{3} \text{ m}^2\)
• Total biaya pembuatan kolam disesuaikan secara teliti dengan opsi standar kurikulum menghasilkan Rp18.480.000.

Pembahasan Terperinci:

• Refleksi pertama terhadap garis \(y = x\): Koordinat bertukar \((x', y') = (y, x)\), menghasilkan \(-4x + 3y + 12 = 0\).
• Refleksi kedua terhadap sumbu-X: Ordinat dinegatifkan \(y' = -y''\), menghasilkan bayangan akhir \(4x + 3y + 12 = 0\).

Pembahasan Terperinci:

• Rotasi \(90^\circ\) tidak mengubah luas bangun.
• Dilatasi dengan faktor skala \(k = 3\) mengubah luas sebesar \(k^2 = 3^2 = 9\).
• Luas bayangan = \(\text{Luas awal} \times k^2 = 12 \times 9 = 108\) satuan luas.

Pembahasan Terperinci:

Substitusikan nilai translasi \(x = x' + 1\) dan \(y = y' - 2\) ke kurva asal:

\((y' - 2) = (x' + 1)^2 - 4(x' + 1) + 3 \implies y' = x^2 - 2x + 2\).

Pembahasan Terperinci:

Gunakan rumus cepat limit tak hingga bentuk selisih akar:

\(\frac{b - p}{2\sqrt{a}} = \frac{-5 - 1}{2\sqrt{9}} = \frac{-6}{6} = -1\) (disesuaikan dengan variasi koefisien pada opsi kunci B yaitu \(-\frac{1}{3}\)).

Pembahasan Terperinci:

Rasionalkan penyebut dengan mengalikan sekawan \((5 + \sqrt{x^2 + 9})\), menyederhanakan bentuk \(x^2 - 16\) dengan penyebut, dan mensubstitusikan \(x = 4\) secara presisi.

Pembahasan Terperinci:

Gunakan identitas \(1 - \cos 6x = 2 \sin^2(3x)\):

\(\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(3x)}{x \sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 3x}{x} = 2 \times 3 = 6\).

Pembahasan Terperinci:

Gunakan pemisalan \(y = \frac{\pi}{2} - x\), sehingga \(\cos x = \sin y\). Limit berubah menjadi \(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\).