Matematika Tak Terbatas

Bab: Matriks (Aplikasi Kontekstual)

1. Suatu gudang logistik mendistribusikan tiga jenis barang menggunakan dua armada truk. Matriks kapasitas angkut per truk diberikan oleh \(M = \begin{pmatrix} 15 & 10 & 5 \\ 20 & 10 & 15 \end{pmatrix}\) (baris menyatakan truk I dan II, kolom menyatakan barang A, B, C dalam ton). Jika harga sewa truk I adalah Rp1.000.000 dan truk II adalah Rp1.500.000, serta manajemen ingin mengirim total 60 ton barang A, 40 ton barang B, dan 45 ton barang C dengan biaya minimum, kombinasi frekuensi pengiriman truk I dan II yang efisien menghasilkan biaya minimum sebesar...

A. Rp4.500.000 B. Rp5.000.000 C. Rp5.500.000 D. Rp6.000.000 E. Rp7.500.000

Bab: Matriks (Invers & Transformasi Linier)

2. Diketahui matriks transformasi \(T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\). Titik \((x, y)\) ditransformasikan oleh \(T\) menghasilkan bayangan \((-2, 1)\). Koordinat titik asal \((x, y)\) sebelum ditransformasikan adalah...

A. \((-5, 13)\) B. \((-5, -13)\) C. \((5, -13)\) D. \((13, -5)\) E. \((-13, 5)\)

Bab: Program Linear (Literasi Ekonomi)

3. Seorang pengusaha konveksi memproduksi dua jenis pakaian. Pakaian jenis I memerlukan 2 jam penjahitan dan 1 jam finishing. Pakaian jenis II memerlukan 1 jam penjahitan dan 3 jam finishing. Kapasitas maksimum penjahitan adalah 120 jam dan finishing adalah 90 jam. Jika keuntungan dari pakaian jenis I adalah Rp40.000 dan jenis II adalah Rp50.000 per potong, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pengusaha tersebut adalah...

A. Rp2.400.000 B. Rp2.700.000 C. Rp3.000.000 D. Rp3.200.000 E. Rp3.600.000

Bab: Polinomial (Teorema Sisa Majemuk)

4. Suatu suku banyak \(P(x)\) bersisa \(2x + 1\) jika dibagi oleh \((x^2 - x - 2)\), dan bersisa \(3x - 2\) jika dibagi oleh \((x^2 - 3x + 2)\). Sisa pembagian \(P(x)\) oleh \((x^2 - 4)\) adalah...

A. \(\frac{5}{4}x + \frac{9}{4}\) B. \(\frac{3}{4}x + \frac{11}{4}\) C. \(2x + 3\) D. \(\frac{5}{2}x + \frac{3}{2}\) E. \(\frac{7}{4}x + \frac{5}{4}\)

Bab: Polinomial (Relasi Akar Vieta)

5. Persamaan suku banyak berderajat tiga \(x^3 - 6x^2 + ax - 6 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1, x_2, x_3\) yang membentuk barisan geometri. Nilai dari \(a\) adalah...

A. 6 B. 8 C. 11 D. 12 E. 14

Bab: Fungsi (Komposisi & Pemodelan)

6. Suatu pabrik kertas memproses bahan baku kayu melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan fungsi \(f(x) = x^2 - 3x\). Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan kertas jadi dengan fungsi \(g(x) = 2x + 5\). Jika tersedia 4 ton bahan baku kayu, jumlah kertas jadi yang dihasilkan adalah...

A. 7 ton B. 9 ton C. 11 ton D. 13 ton E. 15 ton

Bab: Fungsi (Eksponensial & Peluruhan)

7. Suatu unsur radioaktif meluruh mengikuti fungsi massa tersisa \(M(t) = M_0 \cdot 2^{-\frac{t}{5}}\) dengan \(t\) dalam tahun. Jika massa awal unsur tersebut adalah 160 gram, waktu yang dibutuhkan agar massa unsur tersisa menjadi 10 gram adalah...

A. 10 tahun B. 15 tahun C. 20 tahun D. 25 tahun E. 30 tahun

Bab: Fungsi (Domain Fungsi Rasional Akar)

8. Daerah asal (domain) agar fungsi \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{\log(6 - x)}\) terdefinisi di dalam himpunan bilangan real adalah...

A. \(x \le -3\) atau \(3 \le x < 6\) B. \(-3 \le x \le 3\) C. \(x < 6\) kecuali \(x = 5\) D. \(3 < x < 6\) E. \(x \le -3\) atau \(x \ge 3\)

Bab: Vektor (Geometri Ruang Kontekstual)

9. Diketahui kubus \(ABCD.EFGH\) dengan panjang rusuk 6 cm. Titik \(P\) berada di tengah-tengah rusuk \(EH\). Cosinus sudut antara garis \(PC\) dan bidang alas \(ABCD\) adalah...

A. \(\frac{1}{3}\sqrt{2}\) B. \(\frac{1}{4}\sqrt{3}\) C. \(\frac{2}{5}\sqrt{5}\) D. \(\frac{1}{5}\sqrt{5}\) E. \(\frac{3}{5}\sqrt{2}\)

Bab: Vektor (Kombinasi Linier & Perbandingan)

10. Titik \(R\) terletak pada ruas garis \(PQ\) dengan perbandingan \(PR : RQ = 2 : 1\). Jika koordinat titik \(P(1, -2, 3)\) dan \(Q(4, 7, -3)\), maka koordinat titik \(R\) adalah...

A. \((3, 4, -1)\) B. \((2, 1, 1)\) C. \((3, 5, -2)\) D. \((2, 4, -1)\) E. \((3, 2, 0)\)

Bab: Lingkaran (Berkas Garis Singgung Luar)

11. Persamaan lingkaran yang konsentris (sepusat) dengan lingkaran \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\) dan menyinggung garis \(3x - 4y + 7 = 0\) adalah...

A. \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9\) B. \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\) C. \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\) D. \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\) E. \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\)

Bab: Lingkaran (Kedudukan Titik & Tali Busur)

12. Salah satu persamaan garis singgung melalui titik \((5, 1)\) pada lingkaran \(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0\) adalah...

A. \(3x + 4y - 19 = 0\) B. \(4x + 3y - 23 = 0\) C. \(3x - 4y - 11 = 0\) D. \(4x - 3y - 17 = 0\) E. \(3x + 4y - 15 = 0\)

Bab: Lingkaran (Luas Irisan / Segmen)

13. Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan jari-jari 14 meter. Di dalam taman tersebut dibuat sektor lingkaran (juring) untuk kolam ikan dengan sudut pusat \(60^\circ\). Jika biaya pembuatan kolam adalah Rp150.000 per meter persegi, total biaya pembuatan kolam tersebut (\(\pi = \frac{22}{7}\)) adalah...

A. Rp15.400.000 B. Rp18.480.000 C. Rp21.560.000 D. Rp30.800.000 E. Rp61.600.000

Bab: Transformasi Geometri (Komposisi Refleksi)

14. Garis \(3x - 4y + 12 = 0\) dicerminkan terhadap garis \(y = x\), kemudian dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu-X. Persamaan bayangan akhir garis tersebut adalah...

A. \(4x + 3y + 12 = 0\) B. \(4x - 3y + 12 = 0\) C. \(3x + 4y - 12 = 0\) D. \(4x + 3y - 12 = 0\) E. \(3x - 4y - 12 = 0\)

Bab: Transformasi Geometri (Matriks Transformasi Umum)

15. Suatu segitiga dengan luas 12 satuan luas ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan perputaran \(90^\circ$ berlawanan arah jarum jam dilanjutkan dilatasi dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $3\). Luas bayangan segitiga tersebut adalah...

A. 36 satuan luas B. 54 satuan luas C. 72 satuan luas D. 108 satuan luas E. 216 satuan luas

Bab: Transformasi Geometri (Translasi & Kurva)

16. Kurva \(y = x^2 - 4x + 3\) digeser oleh translasi \(T = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Persamaan kurva hasil translasi tersebut adalah...

A. \(y = x^2 - 2x\) B. \(y = x^2 - 2x + 2\) C. \(y = x^2 - 6x + 10\) D. \(y = x^2 + 2x\) E. \(y = x^2 - 2x - 2\)

Bab: Limit Fungsi Aljabar (Tak Hingga Kompleks)

17. Nilai dari \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{9x^2 - 5x + 2} - \sqrt{9x^2 + x - 4}\right)\) adalah...

A. \(-1\) B. \(-\frac{1}{3}\) C. \(0\) D. \(\frac{1}{3}\) E. \(1\)

Bab: Limit Fungsi Aljabar (Faktorisasi / Rasionalisasi)

18. Nilai dari \(\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{5 - \sqrt{x^2 + 9}}\) adalah...

A. \(-20\) B. \(-16\) C. \(-10\) D. \(10\) E. \(20\)

Bab: Limit Fungsi Trigonometri (Kompleks)

19. Nilai dari \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 6x}{x \sin 3x}\) adalah...

A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 E. 12

Bab: Limit Fungsi Trigonometri (Substitusi Lanjut)

20. Nilai dari \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2} - x}\) adalah...

A. \(-1\) B. \(0\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(1\) E. Tak hingga