Operasi Hitung Vektor

Operasi Hitung Vektor: Penjumlahan dan Pengurangan

1. Penjumlahan Secara Geometris

Secara geometris, penjumlahan dua buah vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) dapat diselesaikan dengan dua metode utama, yaitu:

  • Aturan Segitiga: Dilakukan dengan menempatkan titik pangkal vektor \(\vec{b}\) pada titik ujung vektor \(\vec{a}\). Vektor hasil (resultan) \(\vec{a} + \vec{b}\) ditarik dari titik pangkal vektor \(\vec{a}\) menuju titik ujung vektor \(\vec{b}\).
  • Aturan Jajar Genjang: Dilakukan dengan menempatkan titik pangkal vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) pada satu titik tangkap yang sama, lalu membentuk bangun jajar genjang. Vektor resultan merupakan diagonal jajar genjang yang bermula dari titik tangkap tersebut.

Visualisasi Penjumlahan Vektor secara Geometris (Aturan Segitiga)

Contoh Soal 1.1: Jelaskan langkah-langkah menggambar resultan penjumlahan dua vektor menggunakan aturan segitiga!

Penyelesaian:

  • Gambarkan vektor pertama (\(\vec{a}\)) sesuai dengan besar dan arahnya.
  • Letakkan titik pangkal vektor kedua (\(\vec{b}\)) tepat di titik ujung vektor pertama (\(\vec{a}\)).
  • Tarik garis dari titik pangkal vektor \(\vec{a}\) menuju ke titik ujung vektor \(\vec{b}\) sebagai vektor resultan \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b}\).

Contoh Soal 1.2: Kapan metode jajar genjang biasanya lebih mudah digunakan dibandingkan aturan segitiga dalam penjumlahan vektor?

Penyelesaian:

  • Metode jajar genjang lebih sering digunakan ketika kedua vektor yang dijumlahkan berasal dari satu titik tangkap yang sama (seperti gaya-gaya yang bekerja pada satu titik benda).

2. Penjumlahan Menggunakan Komponen (\(\vec{a} + \vec{b}\))

Secara aljabar, jika vektor dinyatakan dalam bentuk komponen kolom atau komponen basis pada bidang Kartesius, penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen-komponen yang seletak.

Jika diketahui vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\), maka penjumlahan \(\vec{a} + \vec{b}\) dirumuskan sebagai:

\[ \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \]

Contoh Soal 2.1: Diketahui vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}\). Tentukan hasil penjumlahan \(\vec{a} + \vec{b}\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus penjumlahan komponen: \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}\)
  • Masukkan nilai komponen masing-masing vektor: \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 + 4 \\ 2 + 5 \end{pmatrix}\)
  • Jumlahkan komponen yang seletak: \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Contoh Soal 2.2: Diketahui dua buah vektor dalam bentuk komponen basis \(\vec{p} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j}\) dan \(\vec{q} = -5\mathbf{i} + 6\mathbf{j}\). Tentukan hasil dari \(\vec{p} + \vec{q}\)!

Penyelesaian:

  • Ubah ke bentuk vektor kolom agar lebih mudah: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{q} = \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix}\)
  • Jumlahkan komponen seletak: \(\vec{p} + \vec{q} = \begin{pmatrix} 2 + (-5) \\ -3 + 6 \end{pmatrix}\)
  • Hasil akhir komponen: \(\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) atau dalam bentuk basis \(-3\mathbf{i} + 3\mathbf{j}\).

3. Pengurangan Vektor (\(\vec{a} - \vec{b}\))

Pengurangan vektor pada dasarnya merupakan penjumlahan suatu vektor dengan lawan (negatif) dari vektor pengurangnya. Vektor negatif dari \(\vec{b}\) (ditulis \(-\vec{b}\)) adalah vektor yang memiliki panjang yang sama dengan \(\vec{b}\) tetapi berlawanan arah.

Jika dinyatakan dalam bentuk komponen:

\[ \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix} \]

Contoh Soal 3.1: Diketahui vektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Tentukan hasil pengurangan \(\vec{u} - \vec{v}\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus pengurangan komponen: \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix}\)
  • Substitusikan nilainya: \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 - 2 \\ 8 - 3 \end{pmatrix}\)
  • Kurangkan komponen yang seletak: \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}\)

Contoh Soal 3.2: Jika vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) dan \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\), hitunglah nilai dari \(\vec{a} - \vec{b}\)!

Penyelesaian:

  • Susun pengurangan komponen seletak: \(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 - 3 \\ 5 - (-4) \end{pmatrix}\)
  • Selesaikan operasi hitung tanda negatif: \(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 9 \end{pmatrix}\)