Geometri Transformasi

Pengenalan Geometri Transformasi

1. Pengenalan Geometri Transformasi

Transformasi geometri adalah proses perpindahan atau perubahan posisi, bentuk, dan ukuran suatu titik, garis, atau bidang geometri pada suatu acuan posisi tertentu. Titik awal sebelum transformasi biasanya dinotasikan dengan \((x, y)\), sedangkan titik hasil transformasi (bayangan) dinotasikan dengan \((x', y')\).

Transformasi geometri dibagi menjadi dua kelompok utama:

  • Transformasi Isometri: Transformasi yang tidak mengubah bentuk dan ukuran benda (hanya merubah posisi/orientasi). Contoh: Translasi, Refleksi, dan Rotasi.
  • Transformasi Non-Isometri: Transformasi yang dapat mengubah ukuran benda. Contoh: Dilatasi.

2. Translasi (Pergeseran)

Pengertian Translasi

Translasi adalah pergeseran semua titik pada bidang datar sejarak dan arah tertentu. Translasi ditentukan oleh komponen pergeseran \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\), di mana \(a\) menyatakan pergeseran horizontal (sumbu-x) dan \(b\) menyatakan pergeseran vertikal (sumbu-y).

Rumus Translasi

Jika titik \(P(x, y)\) ditranslasikan oleh \(T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\), maka koordinat bayangannya \(P'(x', y')\) dirumuskan sebagai:

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \quad \text{atau} \quad (x', y') = (x + a, y + b) \]

Contoh Soal 2.1: Tentukan bayangan titik \(A(3, 5)\) jika ditranslasikan oleh \(T = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus translasi: \(x' = x + a\) dan \(y' = y + b\)
  • Substitusikan titik \(A(3, 5)\) dan \(T = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\):
  • \(x' = 3 + 2 = 5\)
  • \(y' = 5 + (-4) = 1\)
  • Hasil akhir: Bayangan titik \(A\) adalah \(A'(5, 1)\)

3. Refleksi (Pencerminan)

Pengertian Refleksi

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Jarak titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan.

Rumus Dasar Refleksi Titik \((x, y)\)

  • Pencerminan terhadap sumbu-x: \(P'(x, -y)\)
  • Pencerminan terhadap sumbu-y: \(P'(-x, y)\)
  • Pencerminan terhadap garis \(y = x\): \(P'(y, x)\)
  • Pencerminan terhadap garis \(y = -x\): \(P'(-y, -x)\)
  • Pencerminan terhadap titik pusat \(O(0, 0)\): \(P'(-x, -y)\)

Contoh Soal 3.1: Tentukan bayangan titik \(B(-4, 7)\) jika dicerminkan terhadap sumbu-x!

Penyelesaian:

  • Gunakan sifat refleksi terhadap sumbu-x: \((x, y) \rightarrow (x, -y)\)
  • Substitusikan koordinat titik \(B(-4, 7)\):
  • \(x' = -4\)
  • \(y' = -(7) = -7\)
  • Hasil akhir: Bayangan titik \(B\) adalah \(B'(-4, -7)\)

4. Rotasi (Perputaran)

Pengertian Rotasi

Rotasi adalah pemindahan titik dengan cara memutarnya sejauh sudut \(\alpha\) terhadap suatu titik pusat tertentu. Arah putaran berlawanan arah jarum jam bernilai positif (+\(\alpha\)), sedangkan searah jarum jam bernilai negatif (-\(\alpha\)).

Rumus Rotasi dengan Pusat \(O(0, 0)\)

Jika titik \(P(x, y)\) dirotasikan sebesar sudut \(\alpha\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat \(O(0, 0)\), maka:

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Kasus Khusus Rotasi Pusat \(O(0, 0)\)

  • Rotasi \(90^\circ\): \(P'(-y, x)\)
  • Rotasi \(180^\circ\): \(P'(-x, -y)\)
  • Rotasi \(270^\circ\): \(P'(y, -x)\)

Contoh Soal 4.1: Tentukan bayangan titik \(C(2, 6)\) jika dirotasikan sejauh \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat \(O(0, 0)\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus khusus rotasi \(90^\circ\): \((x, y) \rightarrow (-y, x)\)
  • Masukkan nilai komponen titik \(C(2, 6)\):
  • \(x' = -6\)
  • \(y' = 2\)
  • Hasil akhir: Bayangan titik \(C\) adalah \(C'(-6, 2)\)

5. Dilatasi (Perkalian)

Pengertian Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangunan geometri tanpa mengubah bentuknya. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala \(k\).

Rumus Dilatasi Pusat \(O(0, 0)\)

Jika titik \(P(x, y)\) didilatasi terhadap pusat \(O(0,0)\) dengan faktor skala \(k\), maka koordinat bayangannya dirumuskan sebagai:

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot x \\ k \cdot y \end{pmatrix} \quad \text{atau} \quad P'(kx, ky) \]

Contoh Soal 5.1: Tentukan bayangan titik \(D(-3, 4)\) oleh dilatasi dengan pusat \(O(0, 0)\) dan faktor skala \(k = 3\)!

Penyelesaian:

  • Gunakan rumus dilatasi pusat \(O(0,0)\): \(x' = k \cdot x\) dan \(y' = k \cdot y\)
  • Kalikan setiap komponen dengan faktor skala \(k = 3\):
  • \(x' = 3 \cdot (-3) = -9\)
  • \(y' = 3 \cdot 4 = 12\)
  • Hasil akhir: Bayangan titik \(D\) adalah \(D'(-9, 12)\)