Konsep Dasar Turunan
1. Apa itu Turunan?
Secara geometris, turunan (atau diferensial) dari suatu fungsi adalah tingkat perubahan sesaat dari suatu fungsi terhadap perubahan variabel bebasnya. Konsep ini merepresentasikan kemiringan (gradien/slope) garis singgung kurva pada suatu titik tertentu.
Definisi di atas dikenal sebagai definisi limit turunan. Jika jarak antar titik (h) dibuat mendekati nol, maka garis potong kurva akan berubah menjadi garis singgung kurva secara presisi.
Poin-poin Notasi Penting Turunan Pertama:
- Menggunakan lambang aksen: f'(x) atau y'
- Menggunakan notasi Leibniz: dy / dx atau df / dx
- Menggunakan notasi operator: Dx[f(x)]
2. Tabel Lengkap Rumus Baku Turunan
Untuk menghindari penggunaan limit yang panjang, kita menggunakan tabel referensi cepat untuk menyelesaikan berbagai tipe fungsi aljabar, trigonometri, hingga logaritma:
| Kategori Fungsi | Fungsi Asal f(x) | Turunan Pertama f'(x) |
|---|---|---|
| Konstanta | c | 0 |
| Identitas & Linear | x | 1 |
| Aturan Pangkat | a · xn | (a · n) · xn-1 |
| Trigonometri | sin(x) cos(x) tan(x) |
cos(x) -sin(x) sec2(x) |
| Eksponensial | ex ax |
ex ax · ln(a) |
| Logaritma | ln(x) | 1 / x |
3. Sifat-Sifat Operasi Turunan (Perkalian & Pembagian)
Bagaimana jika fungsi yang diturunkan berbentuk kombinasi penjumlahan, perkalian, atau pembagian dua fungsi lain? Berikut adalah aturan operasionalnya:
-
Aturan Penjumlahan & Pengurangan:
[ f(x) ± g(x) ]' = f'(x) ± g'(x)
-
Aturan Perkalian dengan Konstanta:
[ c · f(x) ]' = c · f'(x)
-
Aturan Perkalian (Product Rule): Jika f(x) = u(x) · v(x), maka turunannya adalah:
f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
-
Aturan Pembagian (Quotient Rule): Jika f(x) = u(x) / v(x), maka turunannya adalah:
f'(x) = [ u'(x) · v(x) - u(x) · v'(x) ] / [v(x)]2
4. Aturan Rantai (Chain Rule)
Aturan rantai digunakan ketika kita menghadapi fungsi komposisi, yaitu fungsi yang berada di dalam fungsi lain (misalnya bentuk berpangkat majemuk: f(x) = (3x2 + 5)4).
Studi Kasus & Penyelesaian Aturan Rantai:
Tentukan turunan dari fungsi: f(x) = (2x + 3)3
- Turunkan pangkat luar: Anggap isi kurung tetap, kalikan pangkat ke depan lalu kurangi 1 → 3(2x + 3)2
- Turunkan fungsi bagian dalam: Cari turunan dari ekspresi (2x + 3) → 2
- Kalikan hasil luar dan dalam: 3 · (2x + 3)2 · 2 = 6(2x + 3)2
5. Aplikasi Turunan dalam Kehidupan & Fisika
Turunan memiliki banyak fungsi praktis dalam memecahkan permasalahan nyata, di antaranya:
-
Kecepatan & Percepatan Sesuai Waktu: Jika posisi suatu benda dinyatakan dalam fungsi waktu s(t), maka:
- Kecepatan sesaat: v(t) = s'(t)
- Percepatan sesaat: a(t) = v'(t) = s''(t)
-
Nilai Maksimum & Minimum: Untuk mencari titik puncak (seperti keuntungan maksimum, biaya minimum, atau tinggi maksimum lintasan roket), kita mencari titik stasioner dengan syarat turunan pertama bernilai nol:
f'(x) = 0
- Persamaan Garis Singgung Kurva: Gradien garis singgung di titik (x1, y1) diperoleh langsung dari turunan pertama: m = f'(x1).