Sifat Sifat Dan Rumus Turunan

Panduan Lengkap Sifat-Sifat dan Rumus Turunan (Diferensial)

1. Konsep Dasar & Definisi Turunan (Diferensial)

Turunan (diferensial) adalah cabang ilmu kalkulus yang mempelajari tingkat perubahan suatu fungsi akibat perubahan variabel bebasnya. Secara geometris, turunan menyatakan kemiringan (gradien / slope) garis singgung kurva pada titik tertentu.

Secara analitik, konsep turunan diturunkan melalui konsep limit ketika interval perubahan mendekati nol:

f'(x) = limh → 0   [ f(x + h) - f(x) ] / h

Poin-poin Notasi Penting Turunan Pertama:

  • Menggunakan lambang aksen: f'(x) atau y'
  • Menggunakan notasi Leibniz: dy / dx atau df / dx
  • Menggunakan notasi operator: Dx[f(x)]

Contoh Soal 1.1 (Definisi Limit Turunan):

Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x - 2 menggunakan definisi limit turunan!

  1. Rumus limit: f'(x) = limh → 0 [ f(x + h) - f(x) ] / h
  2. Substitusi f(x + h): f(x + h) = 3(x + h) - 2 = 3x + 3h - 2
  3. Hitung selisih: f(x + h) - f(x) = (3x + 3h - 2) - (3x - 2) = 3h
  4. Selesaikan limit: f'(x) = limh → 0 (3h / h) = limh → 0 (3) = 3

Contoh Soal 1.2 (Definisi Limit Turunan Kuadrat):

Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = x2 menggunakan definisi limit turunan!

  1. Substitusi f(x + h): f(x + h) = (x + h)2 = x2 + 2xh + h2
  2. Hitung selisih: f(x + h) - f(x) = (x2 + 2xh + h2) - x2 = 2xh + h2
  3. Selesaikan limit: f'(x) = limh → 0 [ (2xh + h2) / h ] = limh → 0 (2x + h) = 2x

2. Tabel Lengkap Rumus Baku Turunan

Gunakan tabel referensi cepat berikut untuk menyelesaikan berbagai tipe fungsi, mulai dari fungsi aljabar, trigonometri, eksponensial, hingga logaritma:

Kategori Fungsi Fungsi Asal f(x) Turunan Pertama f'(x)
Konstanta c 0
Identitas & Linear x 1
Aturan Pangkat a · xn (a · n) · xn-1
Trigonometri sin(x)
cos(x)
tan(x)		 cos(x)
-sin(x)
sec2(x)
Trigonometri Lanjutan cot(x)
sec(x)
csc(x)		 -csc2(x)
sec(x) · tan(x)
-csc(x) · cot(x)
Eksponensial ex
ax		 ex
ax · ln(a)
Logaritma ln(x)
alog(x)		 1 / x
1 / (x · ln(a))

Contoh Soal 2.1 (Aturan Pangkat Aljabar):

Tentukan turunan dari fungsi f(x) = 5x4 - 3x2 + 7

  1. Gunakan rumus (a · n)xn-1 untuk setiap suku.
  2. Turunan dari 5x4 adalah (5 · 4)x3 = 20x3
  3. Turunan dari -3x2 adalah (-3 · 2)x1 = -6x
  4. Turunan dari konstanta +7 adalah 0.
  5. Hasil akhir: f'(x) = 20x3 - 6x

Contoh Soal 2.2 (Trigonometri & Eksponensial):

Tentukan turunan dari fungsi f(x) = 2 sin(x) + 4ex

  1. Turunan dari 2 sin(x) tetap bernilai 2 cos(x) (karena turunan sin adalah cos).
  2. Turunan dari 4ex tetap bernilai 4ex (karena turunan eksponensial natural adalah dirinya sendiri).
  3. Hasil akhir: f'(x) = 2 cos(x) + 4ex

3. Sifat-Sifat Operasi Hitung Turunan

Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, serta c adalah konstanta riil, berlaku sifat-sifat matematis berikut:

  • Sifat Penjumlahan & Pengurangan:
    [ f(x) ± g(x) ]' = f'(x) ± g'(x)
  • Sifat Perkalian dengan Konstanta:
    [ c · f(x) ]' = c · f'(x)
  • Sifat Perkalian Fungsi (Product Rule): Digunakan untuk fungsi majemuk yang saling mengalikan.
    [ u(x) · v(x) ]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • Sifat Pembagian Fungsi (Quotient Rule): Digunakan untuk fungsi pecahan berbentuk pembagian.
    [ u(x) / v(x) ]' = [ u'(x)v(x) - u(x)v'(x) ] / [ v(x) ]2

Contoh Soal 3.1 (Aturan Perkalian / Product Rule):

Tentukan turunan dari f(x) = (3x + 2)(x2 - 1)

  1. Misalkan u(x) = 3x + 2 → u'(x) = 3
  2. Misalkan v(x) = x2 - 1 → v'(x) = 2x
  3. Masukkan ke rumus u'v + uv': 3(x2 - 1) + (3x + 2)(2x)
  4. Jabarkan: (3x2 - 3) + (6x2 + 4x) = 9x2 + 4x - 3

Contoh Soal 3.2 (Aturan Pembagian / Quotient Rule):

Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1) / (x - 3)

  1. Misalkan u = 2x + 1 → u' = 2
  2. Misalkan v = x - 3 → v' = 1
  3. Masukkan ke rumus (u'v - uv') / v2: [2(x - 3) - (2x + 1)(1)] / (x - 3)2
  4. Sederhanakan pembilang: (2x - 6 - 2x - 1) / (x - 3)2 = -7 / (x - 3)2

4. Aturan Rantai (Chain Rule) untuk Fungsi Komposisi

Aturan rantai digunakan untuk mencari turunan dari fungsi bersarang (fungsi di dalam fungsi lain), seperti fungsi berpangkat banyak atau fungsi trigonometri bersudut majemuk.

Jika f(x) = [ g(x) ]n  ⇒  f'(x) = n · [ g(x) ]n-1 · g'(x)

Contoh Soal 4.1 (Aturan Rantai Aljabar):

Tentukan turunan pertama dari fungsi: f(x) = ( 4x3 - 7 )5

  1. Turunkan fungsi/pangkat luar: Anggap isi kurung tetap, kalikan pangkat ke depan lalu kurangi 1 → 5( 4x3 - 7 )4
  2. Turunkan fungsi bagian dalam: Cari turunan dari ekspresi (4x3 - 7) → 12x2
  3. Kalikan kedua hasil: 5( 4x3 - 7 )4 · 12x2 = 60x2( 4x3 - 7 )4

Contoh Soal 4.2 (Aturan Rantai Trigonometri):

Tentukan turunan pertama dari fungsi: f(x) = sin(3x2 + 5)

  1. Turunkan fungsi luar (sin): Turunan dari sin adalah cos, sudut tetap → cos(3x2 + 5)
  2. Turunkan sudut dalam: Turunan dari (3x2 + 5) adalah → 6x
  3. Kalikan hasil luar dan dalam: 6x · cos(3x2 + 5)

5. Aplikasi Komprehensif Turunan

Dalam bidang sains, teknik, dan ekonomi, konsep turunan diaplikasikan secara luas melalui poin-poin berikut:

  • Persamaan Garis Singgung Kurva: Gradien garis singgung di titik tertentu dicari melalui nilai turunan pertama:
    m = f'(x1)
    Selanjutnya dimasukkan ke persamaan garis lurus: (y - y1) = m(x - x1).
  • Analisis Interval Fungsi Naik & Turun:
    • Kondisi Fungsi Naik terpenuhi jika berlaku syarat: f'(x) > 0
    • Kondisi Fungsi Turun terpenuhi jika berlaku syarat: f'(x) < 0
    • Kondisi Titik Stasioner (titik balik/belok sementara) tercapai saat: f'(x) = 0
  • Uji Turunan Kedua untuk Titik Ekstrim: Digunakan untuk menentukan apakah titik stasioner merupakan titik balik maksimum atau minimum. Jika f''(x) < 0 maka titik maksimum, sebaliknya jika f''(x) > 0 maka titik minimum.
  • Kinematika Gerak (Kecepatan & Percepatan): Jika fungsi posisi suatu objek terhadap waktu adalah s(t):
    • Kecepatan sesaat: v(t) = s'(t)
    • Percepatan sesaat: a(t) = v'(t) = s''(t)

Contoh Soal 5.1 (Persamaan Garis Singgung Kurva):

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - 4x + 3 di titik yang berabsis x = 1!

  1. Cari ordinat (y1) saat x = 1: y1 = (1)2 - 4(1) + 3 = 0 (Titik singgung (1, 0)).
  2. Cari gradien (m) melalui turunan pertama: y' = 2x - 4.
  3. Masukkan x = 1 ke m: m = 2(1) - 4 = -2.
  4. Masukkan ke persamaan garis y - y1 = m(x - x1) → y - 0 = -2(x - 1) → y = -2x + 2 atau 2x + y - 2 = 0.

Contoh Soal 5.2 (Kinematika Gerak / Kecepatan & Percepatan):

Posisi suatu partikel dinyatakan dalam fungsi waktu s(t) = t3 - 6t2 + 9t (dalam meter dan detik). Tentukan kecepatan partikel pada saat t = 2 detik!

  1. Rumus kecepatan adalah turunan pertama posisi: v(t) = s'(t).
  2. Turunkan s(t): v(t) = 3t2 - 12t + 9.
  3. Substitusikan nilai t = 2: v(2) = 3(2)2 - 12(2) + 9
  4. Hitung nilai akhir: v(2) = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 m/s (artinya partikel bergerak ke arah berlawanan dengan kecepatan 3 m/s).
Catatan Belajar: Pemahaman menyeluruh terhadap sifat aljabar dasar, aturan perkalian/pembagian, aturan rantai, serta uji stasioner akan mempermudah Anda menyelesaikan soal-soal kalkulus tingkat lanjut secara sistematis.